การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

ในคณิตศาสตร์ การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง เพื่อแยกความแตกต่างจากการทดสอบที่คล้ายคลึงกัน (โดยเฉพาะ) เป็นวิธีการอนุมานว่าอนุกรมอนันต์หรือ ลู่เข้าหรือลู่ออก ด้วยการเปรียบเทียบอนุกรมหรืออินทิกรัลนั้นกับอนุกรมหรืออินทิกรัลลู่เข้าที่ทราบ

สำหรับอนุกรม

ในแคลคูลัส การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับอนุกรมโดยทั่วไป ประกอบด้วยประพจน์สองประพจน์ เกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์ที่ไม่เป็นลบ (ค่าจริง)

• ถ้ามีอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ มาลู่เข้าและ ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ (นั่นคือสำหรับทั้งหมด ${\displaystyle n>N}$ สำหรับค่าคงที่ N บางค่า อนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ลู่เข้าด้วย
• ถ้ามีอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ลู่ออกและ ${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ก็ลู่ออกด้วย

ให้ทราบว่า อนุกรมที่มีพจน์ที่โตเร็วกว่ามักจะ ครอบงำ อนุกรมที่มีพจน์ที่โตช้ากว่า

นอกจากนี้ การทดสอบอาจระบุได้ในรูปของการลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งในกรณีนี้ การทดสอบยังใช้กับอนุกรมที่มีพจน์เชิงซ้อนได้ด้วย

• ถ้าอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์และ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ก็ลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน
• ถ้ามีอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์และ ${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ก็ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์

ให้ทราบว่า ในประพจน์สุดท้าย อนุกรม ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ยังสามารถสำหรับอนุกรมค่าจริง อาจเกิดขึ้นได้ถ้า a_n ไม่เป็นค่าที่ไม่เป็นลบหมด

คู่ประพจน์ที่สองนั้นเทียบเท่ากับคู่ประพจน์แรกในกรณีของอนุกรมค่าจริงเนื่องจาก ${\displaystyle \sum c_{n}}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \sum |c_{n}|}$ อนุกรมที่มีพจน์ไม่เป็นลบ ลู่เข้า

การพิสูจน์

บทพิสูจน์ประพจน์ทั้งหมดที่กล่าวไว้ข้างต้นมีความคล้ายคลึงกัน นี่เป็นบทพิสูจน์ของประพจน์ที่สาม

ให้ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ และ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ เป็นอนุกรมอนันต์ เมื่อ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์ (ดังนั้น ${\displaystyle \sum |b_{n}|}$ ลู่เข้า) และโดยไม่สูญเสียนัยทั่วไป ให้ว่า ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n พิจารณาผลรวมย่อย

${\displaystyle S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n}|.}$

เนื่องจาก ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=T}$ สำหรับบางจำนวนจริง T สำหรับทุก n

${\displaystyle 0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}$

${\displaystyle S_{n}}$ เป็นลำดับที่ไม่ลดลงและ ${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})}$ ไม่เพิ่ม ให้ ${\displaystyle m,n>N}$ แล้วทั้ง ${\displaystyle S_{n},S_{m}}$ อยู่ในช่วง ${\displaystyle [S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]}$ ซึ่งยาว ${\displaystyle T-T_{N}}$ ลดเหลือศูนย์เมื่อ ${\displaystyle N}$ วิ่งไปอนันต์ แสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }}$ เป็นลำดับโคชี และจะต้องลู่เข้าหาลิมิต ดังนั้น ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์

สำหรับปริพันธ์

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับปริพันธ์อาจเขียนได้ดังนี้ โดยถือว่าฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง f และ g บน ${\displaystyle [a,b)}$ ด้วย b ที่เป็น ${\displaystyle +\infty }$ หรือจำนวนจริงอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่ง f และ g แต่ละตัวมีเส้นกำกับแนวดิ่ง

• ถ้าปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ ลู่เข้าและ ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$ สำหรับ ${\displaystyle a\leq x<b}$ แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ลู่เข้าด้วยและ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$
• ถ้ามีปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ ลู่ออกและ ${\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}$ สำหรับ ${\displaystyle a\leq x<b}$ แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ลู่ออกด้วย

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน

การทดสอบอื่นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมค่าจริง ซึ่งคล้ายกับการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรงข้างต้น และ เรียกว่าการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน

• มีอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ลู่เข้าและ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle b_{n}>0}$ และ ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ลู่เข้าด้วย
• ถ้ามีอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ลู่ออกและ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle b_{n}>0}$ และ ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ลู่ออกด้วย

ดูเพิ่มเติม

• การทดสอบการลู่เข้า

หมายเหตุ

อ้างอิง

• Ayres, Frank Jr.; (1999). Schaum's Outline of Calculus (4th ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN .
• (1965). Advanced Calculus (2nd ed.). New York: McGraw-Hill.
• (1956). Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN .
• Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.). Worth Publishers. ISBN .
• Silverman, Herb (1975). Complex Variables. Houghton Mifflin Company. ISBN .
• ; (1963). (4th ed.). Cambridge University Press. § 2.34. ISBN .