การทดสอบการลู่เข้า

ในทาง คณิตศาสตร์ การทดสอบการลู่เข้าเป็นวิธีการทดสอบหาการ การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

รายการการทดสอบ

ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกหาค่าไม่ได้หรือไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ แล้วอนุกรมจะลู่ออก ในแง่นี้ ผลบวกย่อยจะเป็นแบบโคชี เฉพาะในกรณีที่ลิมิตหาค่าได้และมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น การทดสอบจะสรุปไม่ได้ ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกเป็นศูนย์ สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบด้วยพจน์ที่ n การทดสอบการลู่ออก หรือ การทดสอบอนุกรมลู่ออก

สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า เกณฑ์ของดาล็องแบร์

พิจารณาลิมิตสองลิมิต ${\displaystyle \ell =\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ และ ${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ถ้า ${\displaystyle \ell >1}$ อนุกรมจะลู่ออก ถ้า ${\displaystyle L<1}$ อนุกรมจะลู่เข้าโดยสัมบูรณ์ ถ้า ${\displaystyle \ell \leq 1\leq L}$ การทดสอบจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าแบบสมบูรณ์ แบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออกได้

สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบโดยรากที่ n หรือ เกณฑ์ของโคชี

ให้

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

เมื่อ ${\displaystyle \limsup }$ หมายถึงลิมิตซูพีเรียร์ (อาจได้ ${\displaystyle \infty }$ หากมีลิมิตก็จะมีค่าได้เดิม)

ถ้า r < 1 แล้วอนุกรมนั้นจะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หาก r > 1 แล้วอนุกรมนี้จะลู่ออก ถ้า r = 1 การทดสอบโดยรากจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกจากกัน

การทดสอบรากจะเข้มกว่าการทดสอบอัตราส่วน เมื่อใดที่การทดสอบด้วยอัตราส่วนกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ การทดสอบรากก็จะกำหนดการลู่เช่นกัน แต่บทกลับอาจไม่เป็นจริงเสมอไป

อนุกรมสามารถเปรียบเทียบกับปริพันธ์เพื่อกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออก ให้ ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$ เป็น โดยที่ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ ถ้าให้ $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$$ แล้วอนุกรมนี้ก็จะลู่เข้า แต่ถ้าปริพันธ์ลู่ออก อนุกรมก็จะลุ่ออกด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออนุกรมของ ${\displaystyle {a_{n}}}$ ลุ่เข้าก็ต่อเมื่อปริพันธ์ลู่เข้า

การทดสอบโดยใช้อนุกรมพี

บทย่อยที่ใช้กันบ่อยของการทดสอบด้วยปริพันธ์คือการทดสอบโดยใช้อนุกรมพี ให้ ${\displaystyle k>0}$ แล้ว ${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}}$ จะลู่เข้า ถ้า ${\displaystyle p>1}$

กรณีที่ ${\displaystyle p=1,k=1}$ จะได้อนุกรมฮาร์มอนิกที่ลู่ออก กรณีที่ ${\displaystyle p=2,k=1}$ คือปัญหาบาเซิล และอนุกรมจะลู่เข้าหา ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ โดยทั่วไปแล้ว สำหรับ ${\displaystyle p>1,k=1}$ อนุกรมนี้จะเท่ากับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่นำไปใช้กับ ${\displaystyle p}$ นั่นก็คือ ${\displaystyle \zeta (p)}$

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

ถ้าอนุกรม ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ สำหรับ n ที่มากพอ แล้อนุกรม ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ จะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

ถ้า ${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}$ (นั่นคือทุกสมาชิกของลำดับทั้งสองเป็นค่าบวก) และลิมิต ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ หาค่าได้ เป็นจำนวนจำกัดและไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าหรือลู่ออกทั้งคู่

ให้ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ เป็นลำดับที่ไม่เป็นลบและไม่เพิ่ม แล้วผลรวม ${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ จะลู่เข้า ก็ต่อเมื่อผลรวม ${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$ ลู่เข้า ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าลู่เข้าแล้ว ${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$ จะเป็นจริง

สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$ เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า
2. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ เป็นลำดับทางเดียวและ
3. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ มีขอบเขตจำกัด

แล้ว ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ ก็จะลู่เข้าด้วย

การทดสอบการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทุกอนุกรมจะลู่เข้า

สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

• ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ เป็นลำดับทางเดียว
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

แล้ว ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$ และ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า การทดสอบนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เกณฑ์ของไลบ์นิทซ์

ถ้า ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง และ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก N

โดยที่ M เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุกรม

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

ลู่เข้า

อนุกรม ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ จะลู่เข้าก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ${\displaystyle \varepsilon >0}$ มีจำนวนนับ N ที่

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

เป็นจริงสำหรับทุก n > N และทุก p ≥ 1

ให้ ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ และ ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ เป็นลำดับของจำนวนจริงสองลำดับ สมมติว่า ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ เป็นลำดับลู่ออก และลิมิตต่อไปนี้หาค่าได้

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

แล้วลิมิต

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

สมมติให้ (f_n) เป็นลำดับของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดบนเซต A และมีลำดับของจำนวนไม่เป็นลบ (M_n) ที่สอดคล้องเงื่อนไข

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$ สำหรับทุก ${\displaystyle n\geq 1}$ และทุก ${\displaystyle x\in A}$, และ
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$ ลู่เข้า

แล้วอนุกรม

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และบน A

ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วน

การทดสอบด้วยอัตราส่วนอาจไม่ชัดเจนเมื่อลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1 อย่างไรก็ตาม ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วนบางครั้งช่วยให้สามารถจัดการกับกรณีนี้ได้

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวก

กำหนดให้

${\displaystyle b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).}$

ถ้า

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

มีความเป็นไปได้สามทาง

• ถ้า L > 1 อนุกรมลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)
• ถ้า L < 1 อนุกรมจะลู่ออก
• และถ้า L = 1 การทดสอบไม่สามารถสรุปผลได้

สูตรทางเลือกสำหรับการทดสอบนี้สามรถเขียนได้ดังนี้ ให้ a_n เป็นลำดับของจำนวนจริง แล้วถ้า b > 1 และ K (จำนวนธรรมชาติ) มีอยู่ได้ว่า

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}}$

สำหรับทุก n > K ดังนั้นอนุกรม {a_n} จะลู่เข้า

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวก นิยามให้

${\displaystyle b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).}$

ถ้า

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

มีอยู่สามความเป็นไปได้

• ถ้า L > 1 อนุกรมจะลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)
• ถ้า L < 1 อนุกรมจะลู่ออก
• และถ้า L = 1 การทดสอบนั้นไม่สามารถสรุปผลได้

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวก ถ้า ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })}$ สำหรับบาง β > 1 แล้ว ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ลู่เข้าถ้า α > 1 และลู่ออกถ้า α ≤ 1

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวกแล้ว

(1) ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อมีลำดับ ${\displaystyle b_{n}}$ ของจำนวนบวกและจำนวนจริง c > 0 โดยที่ ${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c}$ -

(2) ${\displaystyle \sum a_{n}}$ จะลู่ออกก็ต่อเมื่อมีลำดับ ${\displaystyle b_{n}}$ ของจำนวนบวกที่ทำให้ ${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0}$

และ ${\displaystyle \sum 1/b_{n}}$ ลู่ออก

การทดสอบของอาบู-มุสตาฟา

ให้ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ เป็นอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์จริงและให้ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ เป็นฟังก์ชันจริงใด ๆ ที่ ${\displaystyle f(1/n)=a_{n}}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และอนุพันธ์อันดับสอง ${\displaystyle f''}$ หาค่าได้ที่ ${\displaystyle x=0}$ แล้ว ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ถ้า ${\displaystyle f(0)=f'(0)=0}$ และลู่ออกในกรณีอื่น

หมายเหตุ

• สำหรับอนุกรมเฉพาะแบบบางประเภทจะทดสอบการลู่เข้าที่เจาะจง เช่น สำหรับอนุกรมฟูเรียร์ จะมี

ตัวอย่าง

พิจารณาอนุกรม

 

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.}$

(i)

<a href="./การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี" rel="mw:WikiLink" data-cx="{&quot;userAdded&quot;:true,&quot;adapted&quot;:true}" data-linkid="undefined">การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี</a>บอกว่า (i) ลู่เข้าแบบจำกัดถ้า

 

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }}$

(ii)

เป็นลู่เข้าแบบจำกัด เนื่องจาก

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}}$

(ii) เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน ${\displaystyle 2^{(1-\alpha )}}$ (ii) จะลู่เข้าแบบจำกัดถ้าอัตราส่วนน้อยกว่าหนึ่ง (กล่าวคือ ${\displaystyle \alpha >1}$). ดังนั้น (i) จะลู่เข้าแบบจำกัดก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \alpha >1}$.

การลู่เข้าของผลคูณ

แม้ว่าการทดสอบส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ แต่ก็สามารถใช้แสดงการลู่เข้าหรือการลู่ออกจากกันของผลคูณอนันต์ ได้เช่นกันสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ให้ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ เป็นลำดับของจำนวนบวก แล้วผลคูณอนันต์ ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ จะลู่เข้าก็ต่อเมื่ออนุกรมนี้ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ลู่เข้า ในทำนองเดียวกัน ถ้า ${\displaystyle 0<a_{n}<1}$เป็นจริง แล้ว ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}$ จะเข้าใกล้ลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ลู่เข้า

สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้ลอการิทึมของผลคูณและใช้การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิตต

ดูเพิ่มเติม

• กฎของโลปิตาล
• กฎการเลื่อน

อ้างอิง

1. Wachsmuth, Bert G. "MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test". www.mathcs.org.
2. Weisstein, Eric W. "Bertrand's Test". mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ). สืบค้นเมื่อ 2020-04-16.
3. Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Gauss criterion", , , ISBN 
4. "Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1835 (13): 171–184. 1835-01-01. doi:10.1515/crll.1835.13.171. ISSN 0075-4102.
5. Tong, Jingcheng (1994). "Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series". The American Mathematical Monthly. 101 (5): 450–452. doi:10.2307/2974907. JSTOR 2974907.
6. Samelson, Hans (1995). "More on Kummer's Test". The American Mathematical Monthly (ภาษาอังกฤษ). 102 (9): 817–818. doi:10.1080/00029890.1995.12004667. ISSN 0002-9890.
7. Abu-Mostafa, Yaser (1984). "A Differentiation Test for Absolute Convergence" (PDF). Mathematics Magazine. 57 (4): 228–231.
8. Belk, Jim (26 January 2008). "Convergence of Infinite Products".

อ่านเพิ่มเติม

• (1972). The Calculus, with Analytic Geometry (2nd ed.). New York: Harper & Row. pp. 655–737. ISBN .