ฟังก์ชันบ่งชี้ (อังกฤษ: indicator function) หรือบางครั้งเรียกว่า ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (อังกฤษ: Caracteristic function) คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต X ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย A ใน X หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต A หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต A แต่ยังคงอยู่ในเซต X
นิยาม
ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย A ของเซต X คือฟังก์ชัน
นิยามโดย
สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น
- [x ∈ A] เป็นสัญกรณ์
- χA (x) อักษรกรีก ไค (χ) เป็นอักษรตัวแรกจากรากศัพท์ภาษากรีกของคำว่า characteristic (ลักษณะเฉพาะ) แต่การใช้สัญกรณ์นี้อาจทำให้สับสนกับใน
- IA (x) อักษรละติน ไอ (I) ใช้แทนความหมายของ indicator (ตัวบ่งชี้) แต่การใช้สัญกรณ์นี้หรือ 1A (x) อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันเอกลักษณ์ (โปรดสังเกตว่าเป็นตัวหนา)
- หรือแม้แต่เขียนเพียงแค่ A (x)
สมบัติพื้นฐาน
การจับคู่ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อย A ของ X ไปยังฟังก์ชันบ่งชี้ของมัน 1A มีลักษณะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งคือเซตของฟังก์ชัน f : X → {0, 1}
ถ้า A และ B ต่างก็เป็นเซตย่อยของ X จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)
ส่วนเติมเต็มของฟังก์ชันบ่งชี้ของ A ซึ่งก็คือ AC จะได้ว่า
ในกรณีทั่วไป ถ้าหาก A1, …, An เป็นการรวบรวมเซตย่อยของ X สำหรับค่า x ∈ X ดังนั้น
จะเป็นผลคูณระหว่าง 0 และ/หรือ 1 หลายตัว ผลคูณนี้จะมีค่าเท่ากับ 1 ถ้าหาก x ไม่อยู่ในเซตย่อย Ak ใด ๆ เลย เพราะตัวคูณทุกตัวเป็น 1 ทั้งหมด หรือมิเช่นนั้นแล้วก็จะเป็น 0 เพราะมีตัวคูณอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็น 0 จึงสรุปได้ว่า
กระจายผลคูณทางด้านซ้าย
เมื่อ | F | คือภาวะเชิงการนับของ F สูตรนี้คือรูปแบบหนึ่งของหลักการ
ฟังก์ชันบ่งชี้เป็นเครื่องมือสำคัญอย่างหนึ่งที่มีประโยชน์ในเรื่องคณิตศาสตร์เชิงการจัด ดังที่ให้ตัวอย่างไว้แล้วก่อนหน้านี้ สัญกรณ์นี้ถูกใช้ในแขนงวิชาอื่นเช่นกัน ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีความน่าจะเป็น ถ้าให้ X เป็นที่มี P และ A เป็นแล้ว 1A จะกลายเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งมีค่าคาดหมายเท่ากับความน่าจะเป็นของ A ดังนี้
เอกลักษณ์นี้ใช้ในการพิสูจน์อย่างง่ายในอสมการของมาร์คอฟ
ในกรณีอื่นเช่น ตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้อาจมีการนิยามขึ้นได้ สิ่งนี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันโมเบียสทั่วไป ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้ในทฤษฎีจำนวนมูลฐาน ()
มัชฌิม ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมเกี่ยว
กำหนดให้ปริภูมิความน่าจะเป็น (Ω, , P) ซึ่ง A ∈ และกำหนดตัวแปรสุ่มบ่งชี้ 1A : Ω → R ซึ่งนิยามโดย 1A (ω) = 1 เมื่อ ω ∈ A สำหรับกรณีอื่น 1A (ω) = 0
มัชฌิม: | |
: | |
ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว: |
ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในทฤษฎีเซตวิภัชนัย
ตามคณิตศาสตร์แบบฉบับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตให้ค่าเป็น 1 (เป็นสมาชิก) หรือ 0 (ไม่เป็นสมาชิก) เพียงเท่านั้น แต่ใน ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกทำให้เป็นการวางนัยทั่วไป โดยให้ค่าเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0, 1] หรือยิ่งไปกว่านั้นในพีชคณิตหรือโครงสร้างบางชนิด ฟังก์ชันเช่นนี้มักจะเรียกว่า (membership function) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตวิภัชนัย (fuzzy set) เซตวิภัชนัยเป็นการจำลองการเปลี่ยนแปลงเป็นระดับชั้นของดีกรีความเป็นสมาชิกในภาคแสดงซึ่งพบเห็นได้ในชีวิตจริงเช่น สูง-กลาง-ต่ำ ร้อน-อุ่น-เย็น-หนาว เป็นต้น
อ้างอิง
- Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
- , , , and . , Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. . Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.
- ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.
- , (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
- , , (2002), Computability and Logic, Cambridge University Press, Cambridge UK, .
- , 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1] 2007-06-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
- , 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174
wikipedia, แบบไทย, วิกิพีเดีย, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด, บทความ, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม, มือถือ, โทรศัพท์, Android, iOS, Apple, โทรศัพท์โมบิล, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, พีซี, web, เว็บ, คอมพิวเตอร์
fngkchnbngchi xngkvs indicator function hruxbangkhrngeriykwa fngkchnlksnaechphaa xngkvs Caracteristic function khuxfngkchnthiniyambnest X sungbngchiwasmachiktwidtwhnungcaepnsmachikkhxngestyxy A in X hruxim odyihkhaepn 1 thasmachiktwnnxyuinest A hruxihkhaepn 0 thasmachiktwnnimxyuinest A aetyngkhngxyuinest Xfngkchnbngchikhxngest A sungepnestyxykhxngest X aesdngkhadwysiaedngniyamfngkchnbngchikhxngestyxy A khxngest X khuxfngkchn 1A X 0 1 displaystyle mathbf 1 A X to 0 1 dd niyamody 1A x 1if x A0if x A displaystyle mathbf 1 A x begin cases 1 amp mbox if x in A 0 amp mbox if x notin A end cases dd sykrnthiichxacphbepnxyangxunechn x A epnsykrn xA x xksrkrik ikh x epnxksrtwaerkcakraksphthphasakrikkhxngkhawa characteristic lksnaechphaa aetkarichsykrnnixacthaihsbsnkbin IA x xksrlatin ix I ichaethnkhwamhmaykhxng indicator twbngchi aetkarichsykrnnihrux 1A x xacthaihsbsnkbfngkchnexklksn oprdsngektwaepntwhna hruxaemaetekhiynephiyngaekh A x smbtiphunthankarcbkhuthiekiywkhxngkbestyxy A khxng X ipyngfngkchnbngchikhxngmn 1A milksnaepnfngkchnhnungtxhnung sungkhuxestkhxngfngkchn f X 0 1 tha A aela B tangkepnestyxykhxng X caidwa cud hmaythungkarkhun 1A B min 1A 1B 1A 1B displaystyle mathbf 1 A cap B min mathbf 1 A mathbf 1 B mathbf 1 A cdot mathbf 1 B 1A B max 1A 1B 1A 1B 1A 1B displaystyle mathbf 1 A cup B max mathbf 1 A mathbf 1 B mathbf 1 A mathbf 1 B mathbf 1 A cdot mathbf 1 B dd swnetimetmkhxngfngkchnbngchikhxng A sungkkhux AC caidwa 1A 1 1A displaystyle mathbf 1 A complement 1 mathbf 1 A dd inkrnithwip thahak A1 An epnkarrwbrwmestyxykhxng X sahrbkha x X dngnn k I 1 1Ak x displaystyle prod k in I 1 mathbf 1 A k x dd caepnphlkhunrahwang 0 aela hrux 1 hlaytw phlkhunnicamikhaethakb 1 thahak x imxyuinestyxy Ak id ely ephraatwkhunthuktwepn 1 thnghmd hruxmiechnnnaelwkcaepn 0 ephraamitwkhunxyangnxyhnungtwthiepn 0 cungsrupidwa k I 1 1Ak 1X kAk 1 1 kAk displaystyle prod k in I 1 mathbf 1 A k mathbf 1 X bigcup k A k 1 mathbf 1 bigcup k A k dd kracayphlkhunthangdansay 1 kAk 1 F 1 2 n 1 F 1 FAk F 1 2 n 1 F 11 FAk displaystyle mathbf 1 bigcup k A k 1 sum F subseteq 1 2 ldots n 1 F mathbf 1 bigcap F A k sum emptyset neq F subseteq 1 2 ldots n 1 F 1 mathbf 1 bigcap F A k dd emux F khuxphawaechingkarnbkhxng F sutrnikhuxrupaebbhnungkhxnghlkkar fngkchnbngchiepnekhruxngmuxsakhyxyanghnungthimipraoychnineruxngkhnitsastrechingkarcd dngthiihtwxyangiwaelwkxnhnani sykrnnithukichinaekhnngwichaxunechnkn twxyangechninthvsdikhwamnacaepn thaih X epnthimi P aela A epnaelw 1A caklayepntwaeprsumsungmikhakhadhmayethakbkhwamnacaepnkhxng A dngni E 1A X1A x dP AdP P A displaystyle operatorname E mathbf 1 A int X mathbf 1 A x d mathbb P int A d mathbb P operatorname P A dd exklksnniichinkarphisucnxyangngayinxsmkarkhxngmarkhxf inkrnixunechn twphkphnkhxngfngkchnbngchixacmikarniyamkhunid singnimkeriykwa fngkchnomebiysthwip sungepnkarwangnythwipkhxngtwphkphnkhxngfngkchnbngchiinthvsdicanwnmulthan mchchim khwamaeprprwn aelakhwamaeprprwnrwmekiywkahndihpriphumikhwamnacaepn W F displaystyle mathcal F P sung A F displaystyle mathcal F aelakahndtwaeprsumbngchi 1A W R sungniyamody 1A w 1 emux w A sahrbkrnixun 1A w 0 mchchim E 1A w P A displaystyle operatorname E mathbf 1 A omega operatorname P A Var 1A w P A 1 P A displaystyle operatorname Var mathbf 1 A omega operatorname P A 1 operatorname P A khwamaeprprwnrwmekiyw Cov 1A w 1B w P A B P A P B displaystyle operatorname Cov mathbf 1 A omega mathbf 1 B omega operatorname P A cap B operatorname P A operatorname P B fngkchnlksnaechphaainthvsdiestwiphchnytamkhnitsastraebbchbb fngkchnlksnaechphaakhxngestihkhaepn 1 epnsmachik hrux 0 imepnsmachik ephiyngethann aetin fngkchnlksnaechphaacathukthaihepnkarwangnythwip odyihkhaepncanwncringthixyuinchwng 0 1 hruxyingipkwanninphichkhnithruxokhrngsrangbangchnid fngkchnechnnimkcaeriykwa membership function sungekiywkhxngkbestwiphchny fuzzy set estwiphchnyepnkarcalxngkarepliynaeplngepnradbchnkhxngdikrikhwamepnsmachikinphakhaesdngsungphbehnidinchiwitcringechn sung klang ta rxn xun eyn hnaw epntnxangxingFolland G B Real Analysis Modern Techniques and Their Applications 2nd ed John Wiley amp Sons Inc 1999 and Second Edition MIT Press and McGraw Hill 2001 ISBN 0 262 03293 7 Section 5 2 Indicator random variables pp 94 99 ed 1965 The Undecidable Raven Press Books Ltd New York 1952 Introduction to Metamathematics Wolters Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company Netherlands Sixth Reprint with corrections 1971 2002 Computability and Logic Cambridge University Press Cambridge UK ISBN 0 521 00758 5 1965 Fuzzy sets Information and Control 8 338 353 1 2007 06 22 thi ewyaebkaemchchin 1967 L fuzzy sets Journal of Mathematical Analysis and Applications 18 145 174