คณิตศาสตร์เชิงการจัด

คณิตศาสตร์เชิงการจัด (อังกฤษ: combinatorics) คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ที่ศึกษากลุ่มของวัตถุจำนวนจำกัดที่มีคุณสมบัติสอดคล้องกับเงื่อนไขบางประการ และมักสนใจเป็นพิเศษที่จะ "นับ" จำนวนวัตถุในกลุ่มนั้น ๆ (ปัญหาการแจกแจง) หรืออาจหาคำตอบว่า วัตถุที่มีคุณสมบัติที่ต้องการนั้นมีอยู่หรือไม่ (ปัญหาสุดขอบ) การศึกษาเกี่ยวกับการนับวัตถุ บางครั้งถูกจัดให้อยู่ในสาขาความน่าจะเป็นแทน

การเรียงสับเปลี่ยน และ การจัดหมู่

การจัดหมู่

การจัดหมู่ คือ การเลือกวัตถุจากกลุ่ม โดยไม่สนใจลำดับของการเลือก เช่น ในการเล่นไพ่โป๊กเกอร์ ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับไพ่ 5 ใบจากทั้งหมด 52 ใบ ซึ่งลำดับในการได้รับแต่ละใบมานั้นจะไม่มีผลในการเล่น

ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดนั้น การจัดหมู่ คือ สับเซต ในเซตใดๆ นั้น ตำแหน่งไม่มีความสำคัญ เนื่องจากในแต่ละเซต สิ่งที่เราสนใจคือ สิ่งของ ที่อยู่ในเซต หรือสมาชิกของเซต แต่ไม่สนใจลำดับ เช่น

{2, 4, 6} = {6, 4, 2}

และ {1,1,1} มีความหมายเท่ากับ {1} เนื่องจาก เซตนั้นกำหนดความแตกต่างด้วยสมาชิกที่แตกต่างกันในเซต

ดูเพิ่มที่บทความ การจัดหมู่

การเรียงสับเปลี่ยน

การเรียงสับเปลี่ยน คือ เป็นการเลือกวัตถุโดยสนใจลำดับของการเลือก เช่น การเลือกรหัสเอทีเอ็ม ซึ่งรหัส 5-3-7-5 นั้นถือว่าแตกต่างจากรหัส 3-7-5-5

สมมุติเราสนใจเลข 3 ตัว คือ

1, 2, 3

เราสามารถเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดได้รูปแบบดังต่อไปนี้

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

ดูเพิ่มที่บทความ การเรียงสับเปลี่ยน

การเลือกซ้ำ

ทั้งการเรียงสับเปลี่ยน และ การจัดหมู่ นั้น ในการเลือกวัตถุออกจากกลุ่มของวัตถุทั้งหมด เราอาจสามารถเลือกซ้ำได้ เช่น ในการเลือกรหัสเอทีเอ็มเลข 4 หลัก โดยแต่ละหลักนั้นเลือกจากเลข 0 ถึง 9 และเราสามารถเลือกเลขตัวเดิมซ้ำได้อีก

สรุปสูตรที่สำคัญ

การเรียงสับเปลี่ยน แบบเลือกซ้ำได้

เลือกวัตถุ ${\displaystyle \,r\,}$ ชิ้น จากทั้งหมด ${\displaystyle \,n\,}$ ชิ้นที่แตกต่างกัน โดยสนใจลำดับในการเลือก และ สามารถเลือกซ้ำได้ จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด ${\displaystyle \,P^{r}(n,r)=n^{r}\,}$

การเรียงสับเปลี่ยน แบบไม่มีการเลือกซ้ำ

เลือกวัตถุ ${\displaystyle \,r\,}$ ชิ้น จากทั้งหมด ${\displaystyle \,n\,}$ ชิ้นที่แตกต่างกัน โดยสนใจลำดับในการเลือก และแต่ละชิ้นนั้นสามารถถูกเลือกได้เพียงครั้งเดียว จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด ${\displaystyle \,P(n,r)={\frac {n!}{(n-r)!}}\,}$

การจัดหมู่ แบบเลือกซ้ำได้

เลือกวัตถุ ${\displaystyle \,r\,}$ ชิ้น จากทั้งหมด ${\displaystyle \,n\,}$ ชิ้นที่แตกต่างกัน โดยไม่สนใจลำดับในการเลือก และ สามารถเลือกซ้ำได้ จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด ${\displaystyle \,C^{r}(n,r)={\frac {(n+r-1)!}{(n-1)!r!}}\,}$

การจัดหมู่ แบบไม่มีการเลือกซ้ำ

เลือกวัตถุ ${\displaystyle \,r\,}$ ชิ้น จากทั้งหมด ${\displaystyle \,n\,}$ ชิ้นที่แตกต่างกัน โดยไม่สนใจลำดับในการเลือก และแต่ละชิ้นนั้นสามารถถูกเลือกได้เพียงครั้งเดียว จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด ${\displaystyle \,C(n,r)={\frac {n!}{(n-r)!r!}}\,}$

ดูเพิ่ม

• การเรียงสับเปลี่ยน
• การจัดหมู่
• แฟกทอเรียล
• ความน่าจะเป็น