ม ชฌ ม อ งกฤษ mean ในทางสถ ต ศาสตร ม ความหมายได สองทางค อ ม ชฌ มเลขคณ ต ซ งแตกต างจากม ชฌ มเรขาคณ ตและ ในบางบร บทม การใช

มัชฌิม (อังกฤษ: mean) ในทางสถิติศาสตร์มีความหมายได้สองทางคือ

มัชฌิมเลขคณิต (ซึ่งแตกต่างจากมัชฌิมเรขาคณิตและ) ในบางบริบทมีการใช้คำว่า ค่าเฉลี่ย แทนความหมายของมัชฌิมเลขคณิต แต่ค่าเฉลี่ยนั้นมีหลายประเภทที่แตกต่างกัน อาทิ มัฌชิม มัธยฐาน ฐานนิยม ตัวอย่างเช่น ราคาเฉลี่ยของบ้านและอาคาร จะใช้มัธยฐานเป็นค่าเฉลี่ยเสมอ
ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม บางครั้งก็เรียกว่า ค่าเฉลี่ยประชากร สำหรับตัวแปรสุ่ม X ที่มีค่าอยู่จริง มัชฌิมคือการคาดหมายค่าของ X แต่การแจกแจงความน่าจะเป็นบางอย่างไม่มีการนิยามมัชฌิม (หรือ) ดูกรณีตัวอย่างใน (Cauchy distribution)

สำหรับชุดข้อมูลหนึ่ง ๆ มัชฌิมคือผลบวกของสิ่งที่สังเกตการณ์ หารด้วยจำนวนครั้งที่สังเกตการณ์ มัชฌิมดังกล่าวมักจะมาคู่กันกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งมัชฌิมใช้อธิบายตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูล ในขณะที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้อธิบายความกระจัดกระจายของข้อมูล

นอกเหนือจากทางสถิติศาสตร์ มัชฌิมมักใช้ในเรื่องเรขาคณิตและคณิตวิเคราะห์ ซึ่งมัชฌิมหลายชนิดถูกสร้างขึ้นมาเพื่อจุดประสงค์ต่าง ๆ ในวงกว้าง แต่มีที่ใช้น้อยในสถิติศาสตร์ ดังรายชื่อต่อไปนี้

ตัวอย่าง

มัชฌิมเลขคณิต

มัชฌิมเลขคณิต เป็นค่าเฉลี่ยแบบมาตรฐานทั่วไป ซึ่งมักเรียกกันว่าเป็น ค่าเฉลี่ย หรือ มัชฌิม เฉย ๆ

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}

ตัวอย่าง มัชฌิมเลขคณิตของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 (จำนวนหกค่า) คือ (34 + 27 + 45 + 55 + 22 + 34) / 6 = 217 / 6 ≈ 36.167

มัชฌิมชนิดนี้มักเป็นที่สับสนกับค่าเฉลี่ยอย่างอื่นที่คล้ายกัน เช่น มัธยฐานหรือฐานนิยม มัชฌิมเลขคณิตจะเป็นการคำนวณเลขคณิตของผลเฉลี่ยจากค่าหลาย ๆ ค่า หรือการแจกแจง หรือแม้แต่การแจกแจงเบ้ (skewed) ซึ่งไม่เหมือนกับค่ากึ่งกลาง (มัธยฐาน) หรือค่าที่ซ้ำกันมากที่สุด (ฐานนิยม)

มัชฌิมเรขาคณิต

มัชฌิมเรขาคณิต เป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับกลุ่มของจำนวนที่เกี่ยวข้องกับผลคูณ ไม่ใช่ผลบวก เช่น อัตราการเติบโต (เป็นเท่า หรือ ทวีคูณ) เป็นต้น

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{1/n}

ตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 คือ (34 × 27 × 45 × 55 × 22 × 34)^1/6 = 1,699,493,400^1/6 ≈ 34.545

มัชฌิมฮาร์มอนิก

เป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับกลุ่มของจำนวนที่กำหนดความสัมพันธ์กับบาง เช่น ความเร็ว (ระยะทางต่อหน่วยเวลา) เป็นต้น

{\bar {x}}=n\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}

ตัวอย่าง มัชฌิมฮาร์มอนิกของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 คือ

{\frac {6}{{\frac {1}{34}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{55}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{34}}}}\approx 33.0179836

มัชฌิมทั่วไป

มัชฌิมกำลัง

(generalized mean) หรือรู้จักกันในชื่อ มัชฌิมกำลัง (power mean) หรือ มัชฌิมเฮิลเดอร์ (Hölder mean) คือภาวะนามธรรมของมัชฌิมกำลังสอง เลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิก ซึ่งนิยามโดย

{\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}\right)^{1/m}

โดยการเลือกค่า m ที่ต้องการเป็นพารามิเตอร์

m → ∞ จะได้
m = 2 จะได้
m = 1 จะได้ มัชฌิมเลขคณิต
m → 0 จะได้ มัชฌิมเรขาคณิต
m = −1 จะได้ มัชฌิมฮาร์มอนิก
m → −∞ จะได้

มัชฌิมกึ่งเลขคณิต

(quasi-arithmetic mean หรือ generalized f-mean) เป็นมัชฌิมที่มีความทั่วไปมากขึ้นไปกว่ามัชฌิมกำลัง นิยามโดย

{\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)

โดยการเลือกฟังก์ชัน f ที่มีอินเวิร์ส เป็นพารามิเตอร์

$f(x)=x\!$ จะได้ มัชฌิมเลขคณิต
$f(x)={\frac {1}{x}}\!$ จะได้ มัชฌิมฮาร์มอนิก
$f(x)=x^{m}\!$ จะได้ มัชฌิมกำลัง
$f(x)=\ln x\!$ จะได้ มัชฌิมเรขาคณิต

มัชฌิมถ่วงน้ำหนัก

หรือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (โดยปกติจะเป็นมัชฌิมเลขคณิตที่ถ่วงน้ำหนัก) จะใช้ในกรณีที่ต้องการผสานค่าของน้ำหนักข้อมูลเข้ากับค่าเฉลี่ย จากตัวอย่างสุ่มในประชากรเดียวกันด้วยขนาดที่แตกต่างกัน

{\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}

ซึ่ง w_i แทนค่าน้ำหนักของข้อมูลของแต่ละตัว

อ้างอิง

สาขาวิชาวิทยาการจัดการ มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช. "9.1 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง". เอกสารการสอนชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติเพื่อธุรกิจ หน่วยที่ 8-15. พิมพ์ครั้งที่ 23. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช, 2552. หน้า 472–488.