ผิวกำลังสอง

ผิวกำลังสอง หรือ ควอดริก (อังกฤษ: quadric surface) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง (hypersurface) ใน D มิติ ซึ่งกำหนดโดยคำตอบหรือรากของสมการพหุนามกำลังสอง (quadratic polynomial) ถ้าเราพิจารณาพิกัด ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{D}\}}$ ผิวกำลังสองถูกกำหนดด้วยสมการพีชคณิตดังต่อไปนี้

${\displaystyle \sum _{i,j=0}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{D}P_{i}x_{i}+R=0}$

โดย Q คือ เมทริกซ์ มิติ D+1 และ P คือ เวกเตอร์ มิติ D+1 และ R คือ ค่าคงที่ ค่าของ Q, P และ R มักกำหนดเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน แต่อาจเป็นค่าใด ๆ โดยทั่วไปแล้วคำตอบหรือทางเดินรากของกลุ่มของพหุนามนั้นเรียกว่า (algebraic variety) ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) ควอดริกนั้นเป็นประเภทหนึ่งของประเภทเชิงพีชคณิต และนั้นจะสมสัณฐานกับการตัดกันของควอดริก

สมการบรรทัดฐานของผิวกำลังสองใน 3 มิติ และมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

${\displaystyle \pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}=1}$

โดยการย้ายตำแหน่งและหมุนรูปผิวกำลังสองทุกรูป สามารถแปลงให้อยู่ในรูปบรรทัดฐานได้ ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผิวกำลังสองนี้จะมีรูปบรรทัดฐาน 16 รูป โดยมีรูปแบบที่น่าสนใจดังต่อไปนี้:

ทรงรี	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,}$
ทรงคล้ายทรงกลม (กรณีพิเศษของ ทรงรี)	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,}$
ทรงกลม (กรณีพิเศษของทรงคล้างทรงกลม)	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}}}=1\,}$
ทรงพาราโบลาเชิงวงรี	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0\,}$
ทรงพาราโบลาเชิงวงกลม	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-z=0\,}$
ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร์โบลา	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0\,}$
ทรงไฮเพอร์โบลาชิ้นเดี่ยว	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,}$
ทรงไฮเพอร์โบลาสองชิ้น	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,}$
ทรงกรวย	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0\,}$
ทรงกระบอกเชิงวงรี	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$
ทรงกระบอกเชิงวงกลม	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1\,}$
ทรงกระบอกเชิงไฮเพอร์โบลา	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$
ทรงกระบอกเชิงไฮพาราโบลา	${\displaystyle x^{2}+2y=0\,}$

ภาคขยายของผิวกำลังสอง

นอกเหนือจากรูปแบบผิวกำลังสองมาตรฐานที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว ยังมีการดัดแปลงรูปแบบของสมการพื้นผิวดังกล่าวเพื่อใช้ในการแทนรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนขึ้น เช่น ซุปเปอร์ควอดริก และไฮเปอร์ควอดริก

ซุปเปอร์ควอดริก

สมการบรรทัดฐานของซุปเปอร์ควอดริกที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

${\displaystyle \left({x^{2} \over a^{2}}\right)^{1 \over \epsilon _{1}}+\left({y^{2} \over b^{2}}\right)^{1 \over \epsilon _{2}}+\left({z^{2} \over c^{2}}\right)^{1 \over \epsilon _{3}}=1}$

หรือ ในรูป

${\displaystyle \,x(\theta ,\phi )=\,}$	${\displaystyle a\,\operatorname {sign} (\cos \theta \cos \phi )\,|\cos \theta \cos \phi |^{\epsilon _{1}})}$
${\displaystyle \,y(\theta ,\phi )=\,}$	${\displaystyle b\,\operatorname {sign} (\sin \theta \cos \phi )\,|\sin \theta \cos \phi |^{\epsilon _{2}})}$
${\displaystyle \,z(\theta ,\phi )=\,}$	${\displaystyle c\,\operatorname {sign} (\sin \phi )\,|\sin \phi |^{\epsilon _{3}})}$

โดย ${\displaystyle {-\pi \over 2}\leq \phi \leq {\pi \over 2}}$ และ ${\displaystyle -\pi \leq \theta <\pi }$

สิ่งที่ซุปเปอร์ควอดริกแตกต่างไปจากผิวกำลังสองคือ เลขยกกำลัง ${\displaystyle \,\epsilon _{1},\ \epsilon _{2},\ \epsilon _{3}\,}$ โดยที่ค่า ${\displaystyle \,\epsilon _{1}\,}$ และ ${\displaystyle \,\epsilon _{2}\,}$ นั้นมีผลต่อรูปร่างในแนวนอน ส่วน ${\displaystyle \,\epsilon _{3}\,}$ นั้นผลต่อรูปร่างในแนวตั้ง ดังแสดงในรูปด้านล่าง

${\displaystyle \,\epsilon _{3}=4\,}$
${\displaystyle \,\epsilon _{3}=2\,}$
${\displaystyle \,\epsilon _{3}=1\,}$
${\displaystyle \,\epsilon _{3}=0.5\,}$
${\displaystyle \,\epsilon _{3}=0.1\,}$
${\displaystyle \,\epsilon _{3}=0\,}$
${\displaystyle \,\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=0\,}$	${\displaystyle \,\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=0.5\,}$	${\displaystyle \,\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=1\,}$	${\displaystyle \,\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=2\,}$	${\displaystyle \,\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=4\,}$

ไฮเปอร์ควอดริก

ไฮเปอร์ควอดริกเป็นส่วนที่ขยายต่อจากซุปเปอร์ควอดริกให้มีความสามารถในการจำลองผิวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โดยซุปเปอร์ควอดริกนั้นเป็นเพียงกรณีพิเศษของไฮเปอร์ควอดริก ไฮเปอร์ควอดริกนั้นสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{|l_{i}(x,y,z)|^{1 \over \epsilon _{i}}}=1}$

โดย

${\displaystyle \,l_{i}(x,y,z)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z+d_{i}\,}$

และ ${\displaystyle \,N\geq 3\,}$

${\displaystyle \,\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=\epsilon _{3}=1\,}$	${\displaystyle \,\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=\epsilon _{3}=2\,}$	${\displaystyle \,\epsilon _{1}=\epsilon _{3}=2,\epsilon _{2}=0.2\,}$

นอกเหนือจากรูปแบบของไฮเปอร์ควอดริกข้างต้น แล้วก็ยังมีการพัฒนาเพิ่มเติมความซับซ้อนของรูปร่างไฮเปอร์ควอดริก เรียกว่า "คอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก" หรือ "ไฮบริดไฮเปอร์ควอดริก" โดยส่วนที่เพิ่มอาจอยู่ในรูปพหุนามของเลขชี้กำลัง

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N_{p}}{|l_{i}^{(pol)}(x,y,z)|^{1 \over \epsilon _{i}}}+\sum _{m=1}^{M}{w_{m}\cdot e^{-\sum _{j=1}^{N_{e}}{|l_{mj}^{(exp)}(x,y,z)|^{1 \over \epsilon _{mj}}}}}=1}$

พจน์ที่เพิ่มเข้ามา มีผลในการปรับแต่งรูปทรงของผิวเฉพาะที่ เช่นใช้ในการเพิ่มหลุมหรือรอยบุ๋ม ดังแสดงในภาพด้านล่าง

	${\displaystyle \Rightarrow }$
ไฮเปอร์ควอดริก		ภาพคอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก โดยการเพิ่มพจน์ของเลขยกกำลัง 1 พจน์