ผลพวงเชิงตรรกะ

ผลพวงเชิงตรรกะ (อังกฤษ: Logical consequence หรือ entailment) เป็น (concept) พื้นฐานในวิชาตรรกศาสตร์ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ซึ่งเป็นจริงระหว่างข้อความเมื่อข้อความหนึ่งเป็นผลมาจากข้อความอื่นหนึ่งข้อขึ้นไป การอ้างเหตุผลซึ่งมีตรรกะที่เป็นการอ้างเหตุผลซึ่งข้อสรุป (consequent) เป็นผลมาจากข้อตั้งเพราะข้อสรุปเป็นผลพวงมาจากข้อตั้ง (philosophical analysis) ผลพวงเชิงตรรกะในเชิงปรัชญาประกอบไปด้วยการตั้งคำถามเช่น: ข้อสรุปเป็นผลมาจากข้อนำในแง่อะไรไหน? และการที่ข้อสรุปเป็นผลพวงจากข้อนำหมายความว่าอะไร? ทั้งหมดทั้งมวลของ (Philosophical logic) ตั้งใจที่จะอธิบายธรรมชาติของผลพวงและ (logical truth)

ผลพวงเชิงตรรกะและ (formalism (philosophy of mathematics)) ตามตัวอย่างที่อธิบายโดย (formal proof) และ (interpretation (logic)) ประโยคหนึ่งเป็นผลพวงเชิงตรรกะของเซตของประโยคในภาษา (formal language) ที่กำหนดภาษาหนึ่งก็ต่อเมื่อประโยคนั้นจะเป็นจริงเมื่อประโยคทุกประโยคในเซตนั้นเป็นจริงโดยวิธีการทางตรรกะเท่านั้น (ไม่สนใจการตีความส่วนตัว)

นักตรรกวิทยาให้คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะว่าด้วยภาษา ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ที่กำหนดอย่างละเอียด ไม่ว่าด้วยการสร้าง (deductive system) สำหรับ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ หรือด้วย (intended interpretation) เชิงรูปนัยสำหรับภาษา ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ นักตรรกวิทยาชาวโปแลนด์ (Alfred Tarski) ได้ระบุลักษณะเฉพาะสามลักษณะของผลพวงเชิงตรรกะ: (1) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับ (logical form) ของประโยค (2) ความสัมพันธ์เป็นแบบ (a priori and a posteriori) นั่นคือมันสามารถถูกระบุได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้หลักฐานเชิงประสบการณ์ (หลักฐานจากประสาทสัมผัส) และ (3) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะมีส่วนประกอบ (modal logic)

คำอธิบายเชิงรูปนัย

มุมมองเรื่องการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายที่สุดคือด้วยการอาศัยรูปแบบ นั่นหมายความว่าข้อความหนึ่งจะเป็นผลมาจากอีกข้อความหนึ่งหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับโครงสร้างหรือของข้อความนั้นโดยไม่สนใจถึงเนื้อหาซึ่งอยู่ในรูปนั้น

คำอธิบายเชิงวากยสัมพันธ์ของผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับซึ่งใช้ (inference rule) ตัวอย่างเช่นเราสามารถแสดงรูปตรรกะของการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลได้ว่า

ทุก X เป็น Y

ทุก Y เป็น Z

เพราะฉะนั้น ทุก X เป็น Z.

การอ้างเหตุผลอันนี้สมเหตุสมผลแบบรูปนัยเนื่องจาก (Substitution (logic)) ของการอ้างเหตุผลซึ่งใช้เค้าร่างเช่นนี้ทุกกรณีนั้นสมเหตุสมผล

ซึ่งนี่ตรงกันข้ามกับการอ้างเหตุผลเช่น "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์ เพราะฉะนั้นสมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เพราะการอ้างเหตุผลแบบนี้ขึ้นอยู่กับความหมายของคำว่า "พี่ชาย" "ลูก" และ "หลาน" ข้อความ "สมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เป็นสิ่งที่เรียกว่าผลพวงเชิงเนื้อหา (material consequence) ของ "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์" และไม่ใช่ผลพวงรูปนัย (formal consequence) ผลพวงรูปนัยจำเป็นต้องเป็นจริงในทุกกรณี แต่ทว่านี่คือนิยามของผลพวงรูปนัยที่ไม่สมบูรณ์เพราะแม้การอ้างเหตุผลว่า "P เป็นลูกของพี่ชายของ Q เพราะฉะนั้น P เป็นหลานของ Q" จะเป็นจริงในทุกกรณีก็ตามที แต่ก็ยังไม่ใช่การอ้างเหตุผลรูปนัย

คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะ

เมื่อเรารู้ว่า ${\displaystyle Q}$ เป็นผลโดยตรรกะมาจาก ${\displaystyle P}$ แล้วความหมายของ ${\displaystyle P}$ หรือ ${\displaystyle Q}$ ที่เป็นไปได้อันใดก็ตามจะไม่ส่งผลใด ๆ ต่อความเป็นผลโดยตรรกะระหว่างทั้งสองที่เรารู้ ไม่มี (A priori and a posteriori) ใดที่สามารถมีอิทธิพลต่อความรู้ของเราว่า ${\displaystyle Q}$ เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ ${\displaystyle P}$ เราสามารถรู้ว่าการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลแบบนิรนัยได้โดยไม่พึ่งประสบการณ์และจึงต้องสามารถรู้ได้ก่อนประสบการณ์ (a priori) อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถรับประกันได้ว่าผลพวงเชิงตรรกะไม่ได้รับอิทธิพลจากความรู้เชิงประจักษ์ได้ด้วยเพียงรูปแบบหรือความเป็นรูปนัย (formality) คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะจึงได้ถือว่าเป็นอิสระจากรูปแบบ

การพิสูจน์และตัวแบบ

เทคนิคการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายสองแบบคือการแสดงแนวคิดในแง่ของการพิสูจน์ (proof) และผ่านตัวแบบ (model) (proof theory) คือการศึกษาถึงผลพวงทางไวยากรณ์ (ของตรรกะอันหนึ่ง) ในขณะที่การศึกษาถึงผลพวงทางอรรถศาสตร์หรือทางความหมาย (ของตรรกะอันหนึ่ง) คือ (model theory)

ผลพวงทางไวยากรณ์

สูตรหรือ formula ${\displaystyle A}$ เป็นผลพวงทางไวยากรณ์ (อังกฤษ: syntactic consequence) ของเซตของสูตร ${\displaystyle \Gamma }$ ใน ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ (formal system) ระบบหนึ่ง เมื่อมี (formal proof) ${\displaystyle A}$ จากเซตของ ${\displaystyle \Gamma }$ ใน ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$

${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {FS}}A}$

ผลพวงทางไวยากรณ์ไม่ขึ้นอยู่กับระบบรูปนัยในแบบใด ๆ

ผลพวงทางความหมาย

สูตรหรือ formula ${\displaystyle A}$ เป็นผลพวงทางความหมาย (อังกฤษ: semantic consequence) ของเซตของข้อความ ${\displaystyle \Gamma }$ ในระบบรูปนัย ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ ระบบหนึ่ง

${\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {FS}}A,}$

ก็ต่อเมื่อไม่มีตัวแบบ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ใด ๆ ที่ในนั้นสมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$ เป็นจริงแต่ ${\displaystyle A}$ จะเป็นเท็จ หรือพูดอีกแบบหนึ่งคือ เซตของการตีความสมาชิกใน ${\displaystyle \Gamma }$ ที่ทำให้ทั้งหมดเป็นจริงนั้นเป็นเซตย่อยของเซตของการตีความที่ทำให้ ${\displaystyle A}$ เป็นจริง

คำอธิบายเชิงอัญรูป

คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะทาง (modal logic) เป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อมันจำเป็น ที่หากสมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$ ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว ${\displaystyle A}$ เป็นจริง

ในทางกลับกัน (หรือคนส่วนใหญ่จะบอกว่าในทางเดียวกัน):

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อมันเป็นไปไม่ได้ ที่สมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$ ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว ${\displaystyle A}$ เป็นเท็จ

คำอธิบายแบบนี้เป็น "เชิงอัญรูป" เพราะมันอาศัย (logical truth) และ (logical possibility) ซึ่งเป็นแนวคิดเชิงอัญรูป 'มันจำเป็นที่' เป็นวลีที่มักถูกแสดงเป็นตัวบ่งปริมาณทั้งหมดบน (possible world) คำอธิบายด้านบนจึงสามารถแปลได้เป็น:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่มีโลกที่เป็นไปได้ที่สมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$ ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว ${\displaystyle A}$ เป็นเท็จ (ไม่จริง)

พิจารณาคำอธิบายเชิงอัญรูปในรูปของการให้เหตุผลซึ่งได้ให้ตัวอย่างไว้ด้านบน:

กบทุกตัวสีเขียว

เคอร์มิตเป็นกบ

เพราะฉะนั้น เคอร์มิตตัวสีเขียว

ข้อสรุปเป็นผลพวงเชิงตรรกะของข้อตั้งเพราะเราไม่สามารถจินตนาการถึงโลกที่เป็นไปได้ใด ๆ เลยที่ (ก) กบทุกตัวสีเขียว (ข) เคอร์มิตเป็นกบ แล้ว (ค) เคอร์มิตตัวสีไม่เขียว

คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัย

คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัยรวมเอาคำอธิบายแบบรูปนัยและอัญรูปเข้าด้วยกันและให้ผลออกมาเป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$ ก็ต่อเมื่อหากมันเป็นไปไม่ได้ที่การอ้างเหตุผลซึ่งมีรูปตรรกะเดียวกันกับ ${\displaystyle \Gamma }$/${\displaystyle A}$ จะมีข้อตั้งที่เป็นจริงและข้อสรุปที่เป็นเท็จ

คำอธิบายบนเหตุผลสนับสนุน

คำอธิบายซึ่งได้พิจารณาไว้ด้านบนทั้งหมดเป็นแบบ "ถนอมความจริง" (truth-preservational) ซึ่งหมายความว่าเป็นคำอธิบายที่ถือว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปเท็จที่มาจากข้อตั้งที่เป็นจริง แต่ในอีกทางหนึ่งคำอธิบายแบบ "ถนอม" (warrant-preservational) ก็ถูกนำเสนอมาโดยบอกว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปที่ไม่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ซึ่งมาจากข้อตั้งที่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ และคำอธิบายนี้เป็นแบบที่นิยมโดยนัก (intuitionism) เช่น (Michael Dummett)

ผลพวงเชิงตรรกะไม่เป็นทางเดียว

คำอธิบายซึ่งถูกพิจารณาด้านบนทั้งหมดให้ผลเป็นความสัมพันธ์แบบผลพวง (Monotonicity of entailment) หรือก็คือแบบที่ถ้า ${\displaystyle A}$ เป็นผลพวงของ ${\displaystyle \Gamma }$ แล้ว ${\displaystyle A}$ จะเป็นผลพวงของซูเปอร์เซตใด ๆ ของ ${\displaystyle \Gamma }$ ด้วย เราสามารถระบุความสัมพันธ์แบบผลพวง (Non-monotonic logic) เพื่อแสดงให้ดูว่าข้อความเช่น 'เจ้าขุนทองบินได้' เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก}

แต่ไม่เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก, เจ้าขุนทองเป็นนกเพนกวิน}.

ดูเพิ่ม

• Ampheck
• การให้เหตุผลแบบนิรนัย
• (Peirce's law)
• (Logical graph)
• (Therefore sign)
• แคลคูลัสเชิงประพจน์
• (Validity (logic))
• (Strict conditional)
• โดเมนแบบบูล
• (Probabilistic logic)
• (Abstract algebraic logic)
• (Turnstile (symbol))
• (Double turnstile)
• ประตูสัญญาณตรรกะ
• (Tautological consequence)
• พีชคณิตแบบบูล
• (Boolean function)
• (Tautology (logic))
• เหตุภาพ

อ้างอิง

1. Beall, JC and Restall, Greg, Logical Consequence The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
2. , Philosophy of Logic.
3. , Logical Consequence Internet Encyclopedia of Philosophy.
4. Kosta Dosen (1996). "Logical consequence: a turn in style". ใน ; Kees Doets; Daniele Mundici; Johan van Benthem (บ.ก.). Logic and Scientific Methods: Volume One of the Tenth International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, Florence, August 1995. Springer. p. 292. ISBN .
5. (1993) Frege: philosophy of language Harvard University Press, p.82ff
6. (1986) Aristotle and Logical Theory Cambridge University Press, 136p.
7. Creath, Richard, and (2007) The Cambridge companion to Carnap Cambridge University Press, 371p.
8. FOLDOC: "syntactic consequence" 2013-04-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
9. , Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Pres, 1971, p. 75.
10. , Logical consequence, The Cambridge Dictionary of Philosophy

บรรณานุกรม

• Anderson, A.R.; Belnap, N.D., Jr. (1975), Entailment, vol. 1, Princeton, NJ: Princeton.
• Augusto, Luis M. (2017), Logical consequences. Theory and applications: An introduction. London: College Publications. Series: Mathematical logic and foundations.
• ; (2008), Language, Proof and Logic, Stanford: CSLI Publications.
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
• (1965), The Undecidable, Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions, New York: Raven Press, ISBN  {{}}: |first= มีชื่อเรียกทั่วไป ((help)). Papers include those by , , , , and .
• Dummett, Michael (1991), The Logical Basis of Metaphysics, Harvard University Press, ISBN .
• Edgington, Dorothy (2001), Conditionals, Blackwell in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic.
• Edgington, Dorothy (2006), "Indicative Conditionals", Conditionals, Metaphysics Research Lab, Stanford University in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Etchemendy, John (1990), The Concept of Logical Consequence, Harvard University Press.
• Goble, Lou, ed. (2001), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell {{}}: |first= มีชื่อเรียกทั่วไป ((help)).
• Hanson, William H (1997), "The concept of logical consequence", The Philosophical Review, 106 (3): 365–409, doi:10.2307/2998398, JSTOR 2998398 365–409.
• (2005), Thought 2 Talk: A Crash Course in Reflection and Expression, New York: Automatic Press / VIP, ISBN 
• Planchette, P. A. (2001), Logical Consequence in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• (1982), Methods of Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), (4th edition, 1982).
• (2002), Necessity, meaning, and rationality: the notion of logical consequence in D. Jacquette, ed., A Companion to Philosophical Logic. Blackwell.
• (1936), On the concept of logical consequence Reprinted in Tarski, A., 1983. Logic, Semantics, Metamathematics, 2nd ed. . Originally published in Polish and German.
• Ryszard Wójcicki (1988). Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence Operations. Springer. ISBN .
• A paper on 'implication' from math.niu.edu, Implication 2014-10-21 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• A definition of 'implicant' AllWords

แหล่งข้อมูลอื่น

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ ผลพวงเชิงตรรกะ

• ; (2013-11-19). "Logical Consequence". ใน (บ.ก.). (Winter 2016 ed.).
• "Logical consequence". .
• Logical consequence ที่
• Logical consequence and entailment ที่
• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Implication", , , ISBN