ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม

ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมหรือทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย (อังกฤษ: mean value theorem) เป็นทฤษฎีบทในแคลคูลัสและการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งกล่าวว่า สำหรับส่วนของเส้นโค้งใด ๆ ที่กำหนดให้ จะมีจุดหนึ่งจุดอยู่บนส่วนของเส้นโค้ง ที่ ณ จุดนั้นจะขนานกับเส้นเชื่อมจุดปลายทั้งสองข้างของเส้นโค้ง

ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วง (a, b) จะมี c ที่อยู่ในช่วง (a, b) ซึ่งเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดปลายของช่วง [a, b] จะขนานกับเส้นสัมผัสจุด c

ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมเป็นรูปนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของโรลล์

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม — ให้ ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ แล้ว จะมี ${\displaystyle c}$ อยู่ในช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ ที่ทำให้เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด ${\displaystyle c}$ ขนานกับเส้นตรงที่ลากผ่านจุด ${\displaystyle (a,f(a))}$ และ ${\displaystyle (b,f(b))}$ หรืออีกนัยหนึ่ง

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมของโคชี

รูปแบบด้านล่างเป็นนัยทั่วไปหนึ่งของทฤษฎีบทค่ามัชฌิม ซึ่งรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมของโคชี (Cauchy's mean value theorem) หรือ ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมแบบขยาย (extended mean value theorem)

ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมของโคชี — ให้ ${\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ แล้ว จะมี ${\displaystyle c}$ อยู่ในช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ ที่ทำให้

$${\displaystyle (g(b)-g(a))f'(c)=(f(b)-f(a))g'(c)}$$

อ้างอิง

1. Garling, D. J. H. (2013). A course in mathematical analysis. Volume 1, Foundations and elementary real analysis. Cambridge: Cambridge University Press. p. 187. ISBN . OCLC 842256400.