ตัวบ่งปริมาณ (หนึ่งตัว)

ตัวบ่งปริมาณ (หนึ่งตัว)

ในวิชาคณิตศาสตร์ สาขาตรรกศาสตร์ ประโยคที่ว่า "มี...หนึ่งตัว" ใช้เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งที่สอดคล้องกับเงื่อนไขอย่างแน่นอน ตัวบ่งปริมาณตัวนี้ เป็นที่รู้จักกันในชื่อ ตัวบ่งปริมาณเอกลักษณ์ หรือ ตัวบ่งปริมาณแบบหนึ่งตัว (อังกฤษ : uniqueness quantification)

ใช้สัญลักษณ์ ∃! หรือ ∃₌₁ ยกตัวอย่าง ประโยคต่อไปนี้

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

หรือจะอ่านได้ว่า "มีจำนวนธรรมชาติ n อยู่หนึ่งตัว ซึ่ง n - 2 = 4

สัญลักษณ์ของตัวบ่งปริมาณหนึ่งตัว

การพิสูจน์เอกลักษณ์

การพิสูจน์เอกลักษณ์ที่นิยมใช้กันคือการพิสูจน์ตัวแรกตามเงื่อนไข แล้วสมมติให้มีจำนวนๆ หนึ่งอยู่สองตัว (a และ b) ที่จะลงตัวกับเงื่อนไขได้พอดี และสมมูลกับประโยคนั้นๆ

อนึ่ง a = b

ยกตัวอย่างการพิสูจน์ ว่า x + 2 = 5 มีเพียงคำตอบเดียว ขั้นแรก จะเป็นการพิสูจน์โดยการสาธิตว่ามีคำตอบอยู่อย่างน้อยหนึ่งตัวแน่นอน ซึ่งก็คือ 3 จะเริ่มการพิสูจน์ส่วนนี้อย่างง่ายก่อน

${\displaystyle 3+2=5}$

ตอนนี้ ก็สมมติให้มีสองคำตอบ เป็น a และ b ซึ่งจะลงตัวกับ x + 2 = 5 ดังนั้น

${\displaystyle {\displaystyle a+2=5}}$ และ ${\displaystyle b+2=5}$

การดำเนินการของสมการ

${\displaystyle {\displaystyle a+2=b+2}}$

ใช้หลักการตัดทิ้ง

${\displaystyle a=b}$

ตัวอย่างการพิสูจน์ตัวบ่งปริมาณแบบหนึ่งตัวง่ายๆ ผลสุดท้าย นิพจน์ของทั้งสองข้างจะมีค่าเท่ากัน ซึ่งจะมาทำให้สอดคล้องกับเงื่อนไข

การพิสูจน์หาค่า ${\displaystyle a}$ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข และพิสูจน์ว่า สำหรับ ${\displaystyle x}$ ใดๆ หมายความว่า เงื่อนไขของ ${\displaystyle x}$ จะมีค่าเป็น ${\displaystyle x=a}$

การลดรูปเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวและตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ตัวบ่งปริมาณแบบหนึ่งตัวในบางครั้งยังเขียนได้ในรูปของตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวและทั้งหมดในเชิงของตรรกศาสตร์พิสูจน์ โดยกำหนดประโยค :

${\displaystyle \exists !xP(x)}$

ซึ่งสมมูลกับ

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}$

และ

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x))}$

ประโยคที่จะใช้กฎเพื่อแยกเงื่อนไขของตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวและทั้งหมดเป็นสองเงื่อนไข หากจะเขียนสั้นๆ จะได้ :

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,((P(y)\wedge P(z))\to y=z)}$

ลดลงมาอีกจะได้

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x)}$

ภาพรวม

อีกหนึ่งภาพรวมของตัวบ่งปริมาณหนึ่งตัวคือจำนวนสมาชิก ซึ่งจะรวมอีกสองตัวบ่งปริมาณเป็นในแบบ "มี k ตัวซึ่ง..." เหมือนกับ "มีสมาชิกซึ่งระบุได้มีอยู่ซึ่ง..." และ "มีสมาชิกระบุได้หลายตัวซึ่ง..." ตัวอย่างข้างต้นเป็นการแสดงโดยใช้ตัวบ่งปริมาณลำดับ แต่สองตัวอย่างสุดท้าย จะแสดงเป็นลำดับในตรรกศาสตร์จัดลำดับไม่ได้

"ความเป็นเอกลักษณ์ (หนึ่งตัว)" จะขึ้นกับ "ความเข้าใจ" ความสัมพันธ์ของตัวบ่งปริมาณนี้ไม่ตายตัว ซึ่งจะขึ้นอยู่กับนิพจน์หรือสมการ (ในสาขานี้ ความเป็นเอกลักษณ์ปกติคือ "เป็นเอกลักษณ์ที่ขึ้นกับสมการ/นิพจน์") เช่น หลายๆ แนวคิดของทฤษฎีจัดลำดับจะเป็น "เป็นเอกลักษณ์ขึ้นกับรูปร่าง"

ดูเพิ่ม

• เซตโทน
• ตัวบ่งปริมาณ (บางตัว)
• ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)

อ้างอิง

• Kleene, Stephen (1952). Introduction to Mathematics. Ishi Press International หน้า 199
• Andrews, Peter B. An Introduction to Mathematical logic and type theory to truth through proof (2. ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. หน้า 233. ISBN 1-4020-0763-9