ตัวทด

ในเลขคณิตมูลฐาน ตัวทด หรือ เลขทด คือตัวเลขที่ถูกส่งมาจากตัวเลขหลักหนึ่ง ไปยังตัวเลขหลักอื่นที่มีมากกว่า ในระหว่างขั้นตอนวิธีของการคำนวณ การกระทำที่ให้เกิดตัวทดเรียกว่า การทด ตัวทดเป็นสิ่งที่ช่วยคำนวณคณิตศาสตร์มาแต่ดั้งเดิม เพื่อเน้นให้เห็นถึงวิธีการหาคำตอบที่ถูกต้อง เมื่อคำนวณจนชำนาญแล้วตัวทดก็มักจะถูกละเลยไปเพราะสามารถคิดได้ในใจ และตัวทดก็ไม่ได้ปรากฏเป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์

การคำนวณด้วยมือ

ตัวอย่าง: ผลบวกของเลขทศนิยมสองจุด

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงการทด จากการบวก

 ¹ 27 + 59 ———— 86 

เนื่องจาก 7 + 9 = 16 ไม่สามารถใส่ตัวเลขทั้งสองได้ในหลักหน่วย ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวทดจากหลักหน่วยไปยังหลักสิบ

สิ่งที่ตรงข้ามกับตัวทดก็คือ ตัวยืม การยืมมักปรากฏในการลบ

 ⁻¹ 47 − 19 ———— 28 

เนื่องจาก 7 ลบ 9 ไม่ได้ (7 น้อยเกินไป) จึงเกิด การยืม 1 จากหลักสิบสู่หลักหน่วย ทำให้จำนวนสิบไปบวกเพิ่มให้กับหลักเลขทางขวาเป็น 17 ทำให้ 17 − 9 = 8 มีสองแนวทางที่อธิบายแนวคิดนี้

1. จำนวนสิบถูก ย้าย ออกจากหลักเลขทางซ้าย ทำให้เหลือเลขในหลักสิบเพียง 3 − 1 = 2 ด้วยแนวคิดนี้ "ตัวยืม" จึงอาจเป็นการตั้งชื่อผิดเพราะยืมแล้วไม่ได้จำนวนสิบกลับคืน
2. จำนวนสิบถูก สำเนา ออกจากหลักเลขทางซ้าย จากนั้นบวกเข้าสู่ตัวลบในหลักที่มันถูกยืมมา ทำให้เลขในหลักสิบเป็น 4 − (1 + 1) = 2

การศึกษาในโรงเรียน

การสอนคณิตศาสตร์แต่เดิมใช้ตัวทดกับการบวกและการคูณกับเลขหลายหลัก โดยเริ่มสอนตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาตอนต้น อย่างไรก็ตามตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 20 เป็นต้นมา สถาบันการศึกษาหลายแห่งก็คิดค้นหลักสูตรการคำนวณคณิตศาสตร์ด้วยวิธีใหม่ขึ้นมา เช่นหลักสูตร ในสหรัฐอเมริกา ซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้ตัวทดแบบดั้งเดิม รวมทั้งมีการใช้สี การจัดวาง และแผนภูมิช่วยในการคำนวณ

คณิตศาสตร์ขั้นสูง

(Kummer's theorem) กล่าวว่า ตัวทดเกิดจากการเพิ่มตัวเลขสองตัวในฐาน${\displaystyle p}$ เท่ากับกำลังสูงสุดของ${\displaystyle p}$ หาร

เมื่อมีการเพิ่มจำนวนสุ่ม สถิติของตัวทดจะมีความสัมพันธ์กับอย่างไม่คาดคิดกับและสถิติ (riffle shuffle permutation)

ในพีชคณิตนามธรรม ระบบตัวทดของจำนวนทศนิยมสองจุดสามารถแสดงผ่านภาษาของ (group cohomology) มุมมองนี้สามารถนำมาใช้ผ่านการแปลงเป็นจำนวนจริง

คอมพิวเตอร์

เมื่อพูดถึงเช่นวงจรบวก คำว่า ตัวทด จึงมีความหมายคล้ายกับเลขคณิต ในคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ ตัวทดจากบิตที่มีนัยสำคัญมากที่สุดซึ่งได้มาจากการดำเนินการทางเลขคณิตบางอย่าง หรือบิตที่ถูกเลื่อน (shift) ออกไปจากหน่วยความจำหลังจากการดำเนินการเลื่อน จะถูกเก็บไว้ในบิตพิเศษเรียกว่า บิตทด (carry bit) ซึ่งสามารถใช้เป็นตัวรับการทดสำหรับการคำนวณเลขคณิตแบบแม่นยำ หรือใช้ทดสอบการทำงานของโปรแกรมคอมพิวเตอร์

ดูเพิ่ม

• (carry flag)

อ้างอิง

1. Holte, John M. (February 1997), "Carries, Combinatorics, and an Amazing Matrix", The American Mathematical Monthly, 104 (2): 138–149, doi:10.2307/2974981, JSTOR 2974981
2. ; Fulman, Jason (August 2009), "Carries, shuffling, and symmetric functions", Advances in Applied Mathematics, 43 (2): 176–196, :0902.0179, doi:10.1016/j.aam.2009.02.002
3. ; ; Fulman, Jason (October 2010), "On adding a list of numbers (and other one-dependent determinantal processes)", Bulletin of the American Mathematical Society, 47 (4): 639–670, :0904.3740, doi:10.1090/S0273-0979-2010-01306-9
4. Nakano, Fumihiko; Sadahiro, Taizo (February 2014), "A generalization of carries processes and Eulerian numbers", Advances in Applied Mathematics, 53: 28–43, doi:10.1016/j.aam.2013.09.005
5. Hegland, M.; Wheeler, W. W. (January 1997), "Linear Bijections and the Fast Fourier Transform", Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, 8 (2): 143–163, doi:10.1007/s002000050059
6. Isaksen, Daniel C. (November 2002), (PDF), The American Mathematical Monthly, 109 (9): 796–805, doi:10.2307/3072368, JSTOR 3072368, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ January 16, 2014, สืบค้นเมื่อ January 22, 2014
7. (2010), Mathematics under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, , pp. 87–88, ISBN 
8. ; ; Tanny, S. (May 1973), "Significance Arithmetic: The Carrying Algorithm", , 14 (3): 386–421, doi:10.1016/0097-3165(73)90013-7
9. Faltin, F.; ; Ross, B.; (June 1975), "The Real Numbers as a Wreath Product", , 16 (3): 278–304, doi:10.1016/0001-8708(75)90115-2

แหล่งข้อมูลอื่น

วิกิพจนานุกรม มีความหมายของคำว่า carry

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Carry" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Borrow" จากแมทเวิลด์.
• Carrying -