กราฟสองมิติ

กราฟสองมิติ คือเซตของจุดบนปริภูมิสองมิติ ถ้าจุดต่าง ๆ เป็นจำนวนจริงและถ้าใช้พิกัดคาร์ทีเซียน แต่ละแกนจะอธิบายถึงค่าที่อาจเกิดขึ้นได้ของตัวแปรจำนวนจริงแต่ละตัว แกนแนวนอนมักจะเรียกว่า x หรือ แกน x และแกนแนวยืนมักจะเรียกว่า y หรือ แกน y แต่ละจุดของกราฟจะอธิบายถึงค่าตัวแปรจำนวนจริงที่สองตัวนั้นที่สัมพันธ์กัน

(1) กราฟของฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)={{x^{3}}-9x}\!\ }$

(2) กราฟของฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)={\log _{2}(x)}\!\ }$

(3) กราฟรูปวงกลมรัศมี r = 1 จุดศูนย์กลาง (a, b) = (1.2, −0.5)

(4) ราคาและปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่เหมาะสม โดยพิจารณาจากอุปสงค์และอุปทาน

(5) รูปร่างเรขาคณิตในสองมิติ

ในอีกทางหนึ่ง แต่ละจุดของกราฟอาจอธิบายถึงค่าของจำนวนเชิงซ้อนค่าเดียว ในกรณีนี้แกนแนวนอนเรียกว่า แกนจริง ซึ่งอธิบายถึงค่าที่อาจเกิดขึ้นว่าเป็นส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน และแกนแนวยืนเรียกว่า แกนจินตภาพ ซึ่งอธิบายถึงค่าที่อาจเกิดขึ้นว่าเป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน

กราฟของฟังก์ชัน

ถ้าความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวอยู่ในรูปแบบ y = f(x) เมื่อ f คือฟังก์ชันซึ่งให้ค่า y ค่าเดียวที่สอดคล้องกับค่า x แต่ละค่าที่สามารถรับได้แล้ว กราฟของมันจะเรียกว่าเป็นกราฟของฟังก์ชัน ฟังก์ชันอาจเป็นหรือฟังก์ชันอดิศัยก็ได้

ตัวอย่าง กราฟของฟังก์ชัน

${\displaystyle f(x)={{x^{3}}-9x}\!\ }$

คือ

${\displaystyle \{(x,{{x^{3}}-9x}):x\in \mathbb {R} \}}$

ถ้านำเซตนี้ไปลงจุดบน จะได้ผลลัพธ์เป็นเส้นโค้งดังภาพ (1)

อีกตัวอย่างหนึ่ง กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม ซึ่งเป็นฟังก์ชันอดิศัย

${\displaystyle f(x)={\log _{2}(x)}\!\ }$

คือ

${\displaystyle \{(x,{\log _{2}(x)}):x>0\}}$

เซตนี้สามารถลงจุดได้ดังภาพ (2)

กราฟของความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน

ในบางกรณี พนุนามสองตัวแปรไม่อาจเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มันไม่เป็นฟังก์ชัน ถึงกระนั้นเซตของจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการก็ยังสามารถลงจุดเป็นกราฟสองมิติได้

ตัวอย่างเช่น สมการทั่วไปของรูปวงกลม

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r}$

กำหนดให้ รัศมี r = 1 และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (a, b) = (1.2, −0.5) จะได้

${\displaystyle (x-1.2)^{2}+(y+0.5)^{2}=1}$

สามารถลงจุดตามที่ค่า x และค่า y สอดคล้องกับสมการ ดังภาพ (3)

กราฟที่วาดทับกันมากกว่าหนึ่งฟังก์ชัน

ในบางบริบท การเขียนกราฟหลาย ๆ ฟังก์ชันลงบนแผนภาพเดียวกันก็อาจมีประโยชน์ในการวิเคราะห์และเปรียบเทียบ อย่างเช่น กราฟของอุปสงค์และอุปทานที่ใช้เป็นประจำในทางเศรษฐศาสตร์ ดังภาพ (4) เส้นกราฟที่โค้งลงคืออุปสงค์ D คือความต้องการของผู้มีอำนาจซื้อในแต่ละราคา เส้นกราฟที่โค้งขึ้นคืออุปทาน S คือความสามารถในการผลิตในแต่ละราคา จุดที่เส้นโค้งทั้งสองตัดกันคือจุดสมดุล ซึ่งเป็นราคา P และปริมาณ Q ของผลิตภัณฑ์ที่เหมาะสมที่ควรผลิต นอกจากนี้แผนภาพนี้แสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงอุปสงค์ที่เพิ่มขึ้นจาก D₁ เป็น D₂ ส่งผลให้ทั้งราคาและปริมาณที่สมดุลเพิ่มขึ้นจากเดิม

กราฟของรูปร่างเรขาคณิต

รูปร่างเรขาคณิตสองมิติคือเซตของจุดที่ถูกจำกัดขอบเขตโดยส่วนของเส้นตรงหรือเส้นโค้ง ดังนั้นรูปร่างหนึ่ง ๆ ก็อาจสามารถสร้างขึ้นได้จากกราฟของสมการหลายสมการที่เป็นเส้นขอบเขตของมัน รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปร่างที่แต่ละด้านเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรงเท่านั้น สิ่งเหล่านี้สามารถทำให้เห็นได้โดยใช้กราฟสองมิติ ตัวอย่างภาพ (5) มีกราฟของรูปหลายเหลี่ยม ได้แก่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และกราฟของรูปวงกลมแสดงอยู่ด้วยกัน

ดูเพิ่ม