ฟ งก ช นข นบ นได ค อฟ งก ช นบนจำนวนจร งซ งเก ดจากการรวมก นระหว างฟ งก ช นคงต วจากโดเมนท แบ งออกเป นช วงหลายช วง กราฟของฟ

ฟังก์ชันขั้นบันได คือฟังก์ชันบนจำนวนจริงซึ่งเกิดจากการรวมกันระหว่างฟังก์ชันคงตัวจากโดเมนที่แบ่งออกเป็นช่วงหลายช่วง กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะเป็นส่วนของเส้นตรงหรือรังสีในแนวราบเป็นท่อน ๆ ตามช่วง ในระดับความสูงต่างกัน

ตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันขั้นบันได (เส้นสีแดง)

นิยาม

ฟังก์ชัน f : R → R จะเรียกว่าฟังก์ชันขั้นบันได ถ้าฟังก์ชัน f สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

สำหรับทุกจำนวนจริง x

เมื่อ n ≥ 0, α_i เป็นจำนวนจริง (ค่าคงตัว), A_i คือช่วงต่าง ๆ และ χ_A คือฟังก์ชันบ่งชี้ (indicator function) ของช่วง A นั่นคือ

\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x\in A\\0&{\mbox{if }}x\notin A\\\end{cases}}

ในนิยามเช่นนี้ ช่วง A_i ต่าง ๆ จะต้องมีสมบัติที่สมมติขึ้นสองประการดังนี้

ช่วงต่าง ๆ จะต้องต่อกัน นั่นคือ A_i ∩ A_j = ∅ โดยที่ i ≠ j
ยูเนียนของช่วงทุกช่วง คือเซตจำนวนจริงทั้งเซต นั่นคือ ∪_iA_i = R

ในกรณีที่สมบัติของฟังก์ชันเริ่มต้นไม่เป็นไปตามข้อสันนิษฐาน เช่นช่วงซ้อนกัน หรือยูเนียนแล้วแต่ไม่ครบเซตจำนวนจริง เราอาจเลือกช่วงใหม่ที่เทียบเท่าอันทำให้มีสมบัติดังกล่าวได้ ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ฟังก์ชันขั้นบันไดนี้

f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}\,\!

สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}

ซึ่งผลลัพธ์จากฟังก์ชันจะยังคงเหมือนเดิม

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันคงตัวเป็นตัวอย่างอย่างง่ายของฟังก์ชันขั้นบันได ซึ่งประกอบด้วยช่วงเพียงช่วงเดียวคือ A₀ = R
(Heaviside function) เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งที่สำคัญ เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังการทดสอบ เช่นที่ใช้ในของ
ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangular function) ซึ่งเป็นแบบบรรทัดฐาน (normalized boxcar function) เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันขั้นบันได ใช้เพื่อเป็นแบบจำลองของหนึ่งหน่วย

ในทางตรงข้าม

ฟังก์ชันภาคจำนวนเต็ม ไม่ถือว่าเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดตามนิยามที่ระบุในบทความนี้ เพราะมีจำนวนช่วงขั้นเป็นอนันต์ (n → ∞) ไม่เป็นจำนวนจำกัด

สมบัติ

ผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดสองฟังก์ชัน จะให้ผลเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดอีกฟังก์ชันหนึ่ง และผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดกับจำนวนคงตัวก็ยังคงเป็นฟังก์ชันขั้นบันได จากกรณีทั้งสองทำให้ฟังก์ชันขั้นบันไดก่อร่างขึ้นมาเหนือจำนวนจริง
ฟังก์ชันขั้นบันไดมีจำนวนช่วงเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้น ถ้าช่วง A_i ต่าง ๆ ซึ่ง i = 0, 1, …, n ตามนิยามข้างต้นไม่ทับซ้อนซึ่งกันและกัน และยูเนียนของช่วงทั้งหมดเป็นจำนวนจริง จะได้ว่า f (x) = α_i สำหรับทุกค่าของ x ∈ A_i
ของฟังก์ชันขั้นบันได $\textstyle f=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}\,$ คือ $\textstyle \int \!f\,dx=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i})$ เมื่อ $\ell (A)$ คือความยาวของช่วง A และในกรณีนี้เราสมมติว่าช่วง A_i ทั้งหมดมีความยาวจำกัด ข้อเท็จจริงคือความเท่ากันนี้สามารถใช้เป็นขั้นตอนแรกในการหาปริพันธ์เลอเบก

อ้างอิง

Weir, Alan J. "3". Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN .

[1] Weir, Alan J. "3". Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN .