เคิร์ล

ใน แคลคูลัสเวกเตอร์ เคิร์ล (อังกฤษ: curl) เป็น ที่อธิบาย การหมุนของ ในสามมิติ เคิร์ลของแต่ละจุดในสนามแทนด้วยเวกเตอร์ ซึ่งมีคุณลักษณะ (ความยาวและทิศทาง) ที่แสดงถึงลักษณะการหมุนที่จุดนั้น

ทิศทางของเคิร์ลคือแกนของการหมุนตามที่กำหนดโดย และขนาดของเคิร์ลคือขนาดของการหมุน เช่น ถ้าสนามเวกเตอร์แทน ของของไหลที่กำลังเคลื่อนที่แล้วเคิร์ลจะเป็นความหนาแน่นของการไหลเวียน ของของไหล สนามเวกเตอร์ที่เคิร์ลเป็นศูนย์ เรียกว่าไร้การหมุน (irrotational) เคิร์ลเป็นรูปแบบของ อนุพันธ์สำหรับสนามเวกเตอร์ โดยรูปทั่วไปของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสที่ใช้กับเคิร์ล คือ ซึ่งเชื่อมโยงของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์กับ ของสนามเวกเตอร์รอบเส้นโค้งขอบเขตของพื้นผิวนั้น

สัญกรณ์ของเคิร์ล เขียนเป็น curl F หรือ ∇ × F ซึ่งใช้ตัวดำเนินการและผลคูณไขว้ บางครั้งอาจเรียกเคิร์ลว่า โรเตชัน (rotation) หรือ โรเตชันนอล (rotational) เขียนเป็นสัญกรณ์ว่า rot F

เคิร์ลแตกต่างจากตัวดำเนินการเกรเดียนต์และ เนื่องจากการประยุกต์สู่มิติอื่น ๆ ยากกว่า โดยมีความเป็นไปได้บางวิธี แต่จะมีเพียงในสามมิติเท่านั้นที่เคิร์ลของสนามเวกเตอร์จะเป็นสนามเวกเตอร์เหมือนเดิม ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับ ผลคูณไขว้ ซึ่งนิยามในสามมิติและขยายไปใช้ในมิติอื่นได้ยากเช่นเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้สะท้อนในสัญกรณ์ ∇× สำหรับเคิร์ล

ชื่อ "เคิร์ล" เสนอเป็นครั้งแรกโดย เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ใน ค.ศ. 1871 แต่แนวคิดนี้มีการใช้งานตั้งแต่ ค.ศ. 1839 ในทฤษฎีสนามเชิงแสงของเจมส์ แมกคัลลัค

องค์ประกอบของ F ที่ตำแหน่ง r ในทิศปกติและทิศสัมผัสกับเส้นโค้งปิด C ในระนาบแบน ที่ล้อมรอบ A = An̂

นิยาม

เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ F (แทนด้วย curl F หรือ ∇ × F หรือ rot F) ที่จุดหนึ่ง ๆ นิยามจากภาพฉายของมันลงบนเส้นต่าง ๆ ที่ผ่านจุดนั้น ถ้า n̂ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใด ๆ ภาพฉายของเคิร์ลของ F ไปบน n̂ นิยามโดยลิมิตของในระนาบที่ตั้งฉากกับ n̂ หารด้วยพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ เมื่อเส้นทางการหาปริพันธ์ลดขนาดลงสู่จุด

ตัวดำเนินการเคิร์ลนำฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง f : ℝ³ → ℝ³ ไปสู่ฟังก์ชันต่อเนื่อง g : ℝ³ → ℝ³ และโดยทั่วไปแล้วจะแปลงฟังก์ชัน C^kใน ℝ³ เป็นฟังก์ชัน C^k−1 ใน ℝ³

แบบแผนสำหรับการวางแนวเวกเตอร์ของปริพันธ์ตามเส้น

โดยปริยาย นิยามของเคิร์ล เขียนเป็นสมการได้เป็น

${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{A\to 0}\left({\frac {1}{|A|}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \right)\mathbf {\hat {n}} }$

โดยที่ ∮_CF ⋅ dr คือ ตามขอบเขตของพื้นที่รอบจุดและ |A| คือขนาดของพื้นที่ ถ้า n̂ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบ และ v̂ เป็นเวกเตอร์ปกติที่ในระนาบที่ชี้ออกไปด้านนอกพื้นที่ (ดูภาพขวา) แล้ว ทิศทางของ C จะเลือกให้ ω̂ ของ C ทำให้ {n̂,ν̂,ω̂} เป็นชุดเวกเตอร์ที่เป็นไปตาม

การใช้งาน

ในทางปฏิบัติ นิยามข้างต้นไม่ค่อยได้ใช้เพราะในเกือบทุกกรณี เคิร์ลสามารถนำมาใช้ในกรอบของบางระบบ ที่มีการคำนวณหาสูตรที่ง่ายกว่าเอาไว้แล้ว

สัญกรณ์ ∇ × F มีต้นกำเนิดในความคล้ายคลึงกับผลคูณไขว้สามมิติ และมีประโยชน์ในการช่วยจำสูตรหาเคิร์ลในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดย ∇ แทนตัวดำเนินการ สัญกรณ์เช่นนี้ถือเป็นปกติใน ฟิสิกส์ และ พีชคณิต

เมื่อกระจายสูตร ∇ × F ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ (ดู สำหรับสูตรในระบบพิกัดทรงกลม และทรงกระบอก พิกัด) สำหรับ F ที่มีองก์ประกอบเวกเตอร์เป็น [F_x, F_y, F_z] จะได้เป็น

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[5pt]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[10pt]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

โดยที่ i, j, และ k เป็น เวกเตอร์หน่วย สำหรับ แกน x y และ z ตามลำดับ สิ่งนี้จะขยายออกดังนี้:

${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

แม้ว่าจะแสดงในรูปแบบของพิกัด ผลลัพธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนที่เหมาะสมของแกนพิกัด แต่จะพลิกด้านภายใต้การสะท้อน

อ้างอิง

1. Proceedings of the London Mathematical Society, March 9th, 1871
2. Collected works of James MacCullagh
3. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010,
4. Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 
5. Arfken, p. 43.