สมการของแมกซ์เวลล์

สมการของแมกซ์เวลล์ (อังกฤษ: Maxwell's equations) ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่าง ๆ

รายละเอียดโดยย่อ

รูปทั่วไป

รูป อนุพันธ์	รูป ปริพันธ์
(Gauss' law) :
${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho }$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho \cdot dV}$
สำหรับสนามแม่เหล็ก (ความไม่มีอยู่ ของแม่เหล็กขั้วเดียว) (magnetic monopole) :
${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}$
กฎของฟาราเดย์ (Faraday's law of induction) :
${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }$
(Ampère's law + Maxwell's extension) :
${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} }$

กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (โดยความเป็นจริงเราไม่มีชื่อให้สำหรับกฎข้อนี้) : บอกได้ว่าในชีวิตประจำวันเราจะไม่พบแม่เหล็กซึ่งมีขั้วแยกจากกันโดยชัดเจน นั่นคือเราจะไม่พบแม่เหล็กที่มีขั้วเหนือเพียงขั้วเดียวหรือแม่เหล็กที่มีขั้วใต้เพียงขั้วเดียว

Faraday's Law : สามารถอธิบายจากสมการได้ว่า "สนามไฟฟ้าเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กในหนึ่งหน่วยเวลาและจะเกิดในทิศหมุนวน (สังเกตจาก operator curl)" ซึ่งจากความรู้เบื้องต้นเราทราบมาว่าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุอิสระ แต่จาก Faraday's Law บอกได้ว่าสนามไฟฟ้าสามารถเกิดจากสนามแม่เหล็กได้เช่นกันแต่ต้องเป็นสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น (ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามไฟฟ้า)

Ampere's Law : สมการรูปนี้เป็นสมการที่ Generalized แล้วโดย Maxwell's อธิบายจากสมการได้คือ "สนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงในหนึ่งหน่วยเวลาโดยจะเกิดในทิศหมุนวนเช่นกัน" นั่นคือสนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าที่คงที่หรือเกิดได้จากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยที่:

สัญลักษณ์	ความหมาย	หน่วยในระบบเอสไอ
${\displaystyle \mathbf {E} }$	สนามไฟฟ้า	โวลต์ ต่อ เมตร
${\displaystyle \mathbf {H} }$	ความเข้มสนามแม่เหล็ก	แอมแปร์ ต่อ เมตร
${\displaystyle \mathbf {D} }$		คูลอมบ์ ต่อ ตารางเมตร
${\displaystyle \mathbf {B} }$	ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก เรียกอีกอย่างว่า การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก	เทสลา, ต่อ ตารางเมตร
${\displaystyle \ \rho \ }$		คูลอมบ์ ต่อ ลูกบาศก์เมตร
${\displaystyle \mathbf {J} }$		แอมแปร์ ต่อ ตารางเมตร
${\displaystyle d\mathbf {A} }$	เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิว A ซึ่งมีขนาดน้อยมาก และมีทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว S	ตารางเมตร
${\displaystyle dV\ }$	ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของปริมาตร V ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิว S	ลูกบาศก์เมตร
${\displaystyle d\mathbf {l} }$	เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของเส้นสัมผัสเส้นรอบขอบ C ที่ล้อมรอบพื้นผิว S	เมตร

และ

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$ คือ ตัวดำเนินการ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times }$ คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships" ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่ (macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {D} (\mathbf {E} ,\mathbf {H} )}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} (\mathbf {E} ,\mathbf {H} )}$

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} (\mathbf {E} ,\mathbf {H} )}$ (กฎของโอห์ม สำหรับสารตัวนำ)

ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม

เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$

โดยที่

• ${\displaystyle \varepsilon }$ เรียกว่า ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า หรือ ค่าความสามารถเก็บประจุ (capacitivity)
• ${\displaystyle \mu }$ เรียกว่า ค่าสภาพให้ซึมผ่านได้ทางแม่เหล็ก หรือ ค่าความสามารถเหนี่ยวนำ (inductivity)
• ${\displaystyle \sigma }$ เรียกว่า ค่าสภาพนำไฟฟ้า

เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร

ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร

ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)

Guage Invariant

Vector Potential

Lagrangian

Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle S=-{\frac {1}{4}}\int d^{3}xF^{\mu u}F_{\mu u}}$

โดยที่

${\displaystyle F^{\mu u}=\partial ^{\mu }A^{u}-\partial ^{u}A^{\mu }}$

Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ และ

${\displaystyle \partial _{u}F^{\mu u}=0}$

สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก .

อ้างอิง

1. Hampshire, Damian P. (29 October 2018). "A derivation of Maxwell's equations using the Heaviside notation". Philosophical Transactions of the Royal Society Research Article. Theme issue Celebrating 125 years of Oliver Heaviside's ‘Electromagnetic Theory’ compiled and edited by Christopher Donaghy-Spargo and Alex Yakovlev PubMed:30373937. Royal Society. 376 (2134). :1510.04309. Bibcode:2018RSPTA.37670447H. doi:10.1098/rsta.2017.0447. ISSN 1364-503X. PMC 6232579. PMID 30373937.

แหล่งข้อมูลอื่น

• maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.
• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 18: The Maxwell Equations
• Wikiversity Page on Maxwell's Equations