ปริพันธ์แฟรแนล

ปริพันธ์แฟรแนล (Fresnel integral) คือ ฟังก์ชันอดิศัยสองฟังก์ชัน S (x) และ C(x) ซึ่งนำมาใช้ในทางทัศนศาสตร์ ตั้งชื่อตามออกุสแต็ง-ฌ็อง แฟรแนล โดยปรากฏเมื่ออธิบายปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนแฟรแนล

กราฟแสดงค่า S(x) และ C(x) โดยค่าสูงสุดของ C(x) คือประมาณ 0.977451424

เส้นโค้งกลอทอยด์ (x, y) = (C(t), S(t))

นิยาม

ปริพันธ์แฟรแนลถูกนิยามโดยการคำนวณปริพันธ์ดังต่อไปนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}\end{aligned}}}$$

หากวาด S(x) และ C(x) ในรูปก็จะได้เป็นเส้นโค้งกลอทอยด์

อ้างอิง

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

1. Abramowitz & Stegun 1983, eqn 7.3.1–7.3.2. sfn error: no target: CITEREFAbramowitzStegun1983 ()
2. Temme 2010. sfn error: no target: CITEREFTemme2010 ()