เส้นเวียนก้นหอยลอการิทึม

เส้นเวียนก้นหอยลอการิทึม (logarithmic spiral) เป็นประเภทหนึ่งที่พบได้ทั่วไปในธรรมชาติ อาจเรียกอีกอย่างว่า เส้นเวียนก้นหอยมุมเท่า (equiangular spiral) หรือ เส้นเวียนก้นหอยแบร์นุลลี (Bernoulli spiral) โดยตั้งชื่อตาม นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในคริสต์ศตวรรษที่ 17

เส้นเวียนก้นหอยลอการิทึมที่มีระยะช่วงเกลียว 10 องศา

หอยงวงช้างเป็นเส้นเวียนก้นหอยลอการิทึม

พายุไซโคลนบริเวณความกดอากาศต่ำเย็น นอกชายฝั่งตะวันตกเฉียงใต้ของไอซ์แลนด์ (4 กันยายน 2003) ทิศทางการเวียนจะกลับกันในซีกโลกเหนือ และ ซีกโลกใต้

ดาราจักรน้ำวน เป็นดาราจักรชนิดก้นหอยที่เป็นที่รู้จักดี

คำนิยาม

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว (r, θ) เขียนได้เป็น

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

เส้นโค้งที่ได้นี้จะเรียกว่าเป็นเส้นเวียนก้นหอยลอการิทึม โดยที่ e คือ ค่าคงตัว e และ a และ b เป็นค่าคงที่จำนวนจริง เนื่องจาก r คือระยะห่างจากจุดกำเนิด a จึงต้องมีค่าเป็นบวกเท่านั้น แต่ b อาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ ค่า b เป็นบวกจะทำให้เกลียวเวียนไปทางซ้ายขณะที่เคลื่อนออกจากศูนย์กลาง และค่า b เป็นลบจะทำให้เกลียวเวียนไปทางขวา บางครั้งคำนิยามก็จำกัดอยู่ที่ b > 0 เนื่องจากสามารถเปลี่ยนการเวียนซ้ายมาเป็นเวียนขวาได้ด้วยการพลิก หาก b = 0 จะได้เป็นรูปวงกลมที่มีรัศมีเป็น a

สูตรยังเขียนอีกแบบได้ว่า

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\log {\frac {r}{a}}}$

ในอดีตลอการิทึมเป็นที่รู้จักก่อนฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ดังนั้นจึงถูกเรียกในชื่อ "เส้นเวียนก้นหอยลอการิทึม" เมื่อ b เป็นบวก (หรือลบ) θ จะเล็กลง (หรือใหญ่ขึ้น) ถ้า r เข้าใกล้ 0 ดังนั้นจึงหมุนวนอย่างไม่สิ้นสุดที่ใกล้จุดศูนย์กลาง

อาจเขียนรูประบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็น

${\displaystyle x(\theta )=r\cos \theta =ae^{b\theta }\cos \theta \,}$

${\displaystyle y(\theta )=r\sin \theta =ae^{b\theta }\sin \theta \,}$

เส้นเวียนก้นหอยทอง

และเส้นเวียนก้นหอยทอง

เป็นเส้นเวียนก้นหอยลอการิทึมชนิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทอง φ

โดยจะได้เมื่อค่าคงที่ b เท่ากับ

${\displaystyle |b|={\frac {\log \phi }{\pi /2}}\approx 0.30634896253}$

โดยให้ r = e^bθ นอกจากนี้ เมื่อ B = e^b ก็จะได้ว่า r = B^θ สำหรับเมื่อค่า b เป็นบวก จะได้ว่า

${\displaystyle B=\phi ^{2/\pi }\approx 1.358456274}$

และสำหรับเมื่อค่า b เป็นลบ ได้ว่า

${\displaystyle B=\phi ^{-2/\pi }\approx 0.736129693}$

ระยะช่วงเกลียวจะอยู่ที่ประมาณ 17.03239 องศา

มีทฤษฎีที่รู้จักกันดีว่าลวดลายบนเปลือกหอยงวงช้างแสดงได้เป็นเส้นเวียนก้นหอยทอง อย่างไรก็ตาม ไม่ทราบสาเหตุที่เป็นเหตุเป็นผล และก็ได้มีคนชี้ให้เห็นว่าจริง ๆ ระยะช่วงเกลียวของเปลือกหอยโข่งอยู่ระหว่าง 8 ถึง 10 องศา ซึ่งห่างจาก 17 องศา แสดงว่ามันไม่ใช่เส้นเวียนก้นหอยทอง

อ้างอิง

1. 上村、p.129
2. Zell-Ravenheart, p. 274