วิธีการคำนวณของโจนส์

วิธีการคำนวณของโจนส์ (Jones calculus) เป็นรูปแบบการคำนวณแบบหนึ่งที่ช่วยให้สามารถอธิบายสถานะของโพลาไรเซชันของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตามชื่อ (Robert Clark Jones) ซึ่งได้ให้นิยามไว้ในปี 1941 เมื่อใช้รูปแบบการคำนวณนี้ สถานะของแสงโพลาไรซ์จะแสดงด้วย เวกเตอร์โจนส์ (Jones vector) และองค์ประกอบทางแสงเชิงเส้นจะแสดงด้วย เมทริกซ์โจนส์ (Jones matrix) เวกเตอร์โจนส์ของแสงที่ออกจากระบบหนึ่ง ๆ จะคำนวณได้จากผลคูณของเมทริกซ์โจนส์ของระบบกับเวกเตอร์โจนส์ของแสงขาเข้า

รูปแบบการคำนวณนี้ใช้ประโยชน์ได้ดีสำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ในการอธิบายแสงโพลาไรซ์บางส่วนจะใช้เวกเตอร์สโตกส์ และ เมทริกซ์มึลเลอร์

คำนิยาม

ในงานวิจัยต้นฉบับของโจนส์ เขาได้พิจารณากรณีของระนาบคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีการโพลาไรซ์ทั้งหมด และกำหนดสถานะของแสง ณ จุดหนึ่ง ๆ จากเวกเตอร์ของจำนวนเชิงซ้อน

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{x}^{(0)}\exp[i(-\omega t+\phi _{x})]\\E_{y}^{(0)}\exp[i(-\omega t+\phi _{y})]\end{pmatrix}},}$

โดย ${\displaystyle E_{x}(t)}$ และ ${\displaystyle E_{y}(t)}$ เป็นส่วนประกอบของสนามไฟฟ้าของคลื่นตามแกน x และ y อย่างไรก็ตาม ตัวแปรที่สำคัญที่สุดในการอธิบายสถานะของโพลาไรเซชันคือความแตกต่างของเฟส ${\displaystyle \phi _{y}-\phi _{x}}$ และแอมพลิจูดของสนามไฟฟ้า ${\displaystyle E_{x}^{(0)}/E_{y}^{(0)}}$ โดยปกติแล้ว จะเลือกจุดที่ทำหน้าที่เป็นตัวอ้างอิงความเข้มและเฟส และได้ว่า

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\end{pmatrix}}=E^{(0)}\exp[i(-\omega t+\phi _{x})]{\begin{pmatrix}V_{x}\\V_{y}\end{pmatrix}},}$

โดยที่เวกเตอร์โจนส์ถูกนิยามโดย

${\displaystyle {\vec {V}}={\begin{pmatrix}V_{x}\\V_{y}\end{pmatrix}}}$

ตัวอย่างของเวกเตอร์โจนส์

ตัวอย่างของเวกเตอร์โจนส์

โพลาไรเซชัน	เวกเตอร์โจนส์	สัญกรณ์ในรูปเค็ท	รูปประกอบ
เส้นตรงตามแกน x	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |H\rangle }$
เส้นตรงตามแกน y	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |V\rangle }$
เส้นตรงตามแนวที่ทำมุม 45° กับแกน x	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )}$
หมุนวนขวา	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )}$
หมุนวนซ้าย	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )}$

การเปรียบเทียบกับในควอนตัม

อย่างเป็นทางการ เวกเตอร์โจนส์เป็นเวกเตอร์ของ ℂ² เช่นเดียวกับ ที่ใช้สำหรับในกลศาสตร์ควอนตัม การเปรียบเทียบนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าโฟตอนสามารถมีสถานะได้สองสถานะ ดังนั้นเราจึงสามารถสานความเชื่อมโยงระหว่างการคำนวณทั้งสองสายนี้ ซึ่งแสดงด้วยการใช้สัญกรณ์บรา-เค็ท ที่ทำกันทั่วไปใน เพื่อแสดงถึงสถานะของโพลาไรซ์ของแสง ตารางด้านล่างนี้แสดงรายละเอียดความเชื่อมโยงระหว่างการคำนวณทั้งสอง

โพลาไรเซชัน	กลศาสตร์ควอนตัม
เวกเตอร์โจนส์
เมทริกซ์โจนส์
ทรงกลมปวงกาเร	ทรงกลมบล็อค
ตัวแปรเสริมสโตกส์

ตัวอย่างเมทริกซ์โจนส์

ตัวอย่างเมทริกซ์โจนส์

ระบบเชิงแสง	เมทริกซ์โจนส์
โพลาไรเซอร์ที่แกนอยู่ในแนวนอน	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
โพลาไรเซอร์ที่แกนอยู่ในแนวตั้ง	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
โพลาไรเซอร์ที่มีแกนเอียง ${\displaystyle \pm }$ 45°	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
โพลาไรเซอร์ที่แกนเอียงเป็นมุม ${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}\varphi &\cos \varphi \sin \varphi \\\sin \varphi \cos \varphi &\sin ^{2}\varphi \end{pmatrix}}}$
โพลาไรเซอร์แบบวงกลมวนขวา	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}$
โพลาไรเซอร์แบบวงกลมวนซ้าย	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบครึ่งคลื่นโดยแกนเร็วอยู่ในแนวนอน	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบครึ่งคลื่นโดยแกนเร็วทำมุม ${\displaystyle \theta }$ กับแนวนอน	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\cos \theta \sin \theta \\2\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่นโดยแกนเร็วอยู่ในแนวนอน	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่นโดยแกนเร็วอยู่ในแนวตั้ง	${\displaystyle {\rm {e}}^{\frac {i\pi }{4}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่นโดยแกนเร็วทำมุม ${\displaystyle \theta }$ กับแนวนอน	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

หากระบบเชิงแสงถูกหมุนรอบแกนเชิงแสงเป็นมุม ${\displaystyle \theta }$ เมทริกซ์โจนส์สำหรับระบบหมุน ${\displaystyle M(\theta )}$ ได้มาจากเมทริกซ์ของระบบที่ไม่ได้หมุนโดยการแปลงดังนี้:

${\displaystyle M(\theta )=R(\theta )\,M\,R(-\theta )}$

โดยที่

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

บทความที่เกี่ยวข้อง

• โพลาไรเซชัน
• โพลาไรเซอร์
• แผ่นหน่วงคลื่น
• เมทริกซ์มึลเลอร์
• ตัวแปรเสริมสโตกส์
• ทรงกลมปวงกาเร

อ้างอิง

1. R. C. Jones, "New calculus for the treatment of optical systems," J. Opt. Soc. Am. 31, 488–493, (1941)
2. O'Brien, Jeremy L. (2007-12-07). "Optical Quantum Computing". Science (ภาษาอังกฤษ). 318 (5856): 1567-1570. doi:10.1126/science.1142892. สืบค้นเมื่อ 2011-05-27.
3. Gerald, A.; Burch, J.M. (1975). Introduction to Matrix Methods in Optics (1st ed.). John Wiley & Sons. p. 212. ISBN .
4. (2001). Optics (4th ed.). p. 378. ISBN .

อ่านเพิ่มเติม

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005) ISBN 
• E. Hecht, Optics, 2d ed., Addison-Wesley (1987) ISBN 
• Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Introduction to Optics, 2d ed., Prentice Hall (1993) ISBN 
• Document présentant le formalisme de Jones, et application à l'interférométrie