บทความนี้ไม่มีจาก |
ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ การเรียงสับเปลี่ยน (อังกฤษ: permutation) อาจมีความหมายที่แตกต่างกันดังที่จะได้กล่าวต่อไป ซึ่งทั้งหมดนั้นเกี่ยวกับการจับคู่ต่างๆ ของเซต ไปยังสมาชิกตัวอื่นในเซตเดียวกัน ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนลำดับสมาชิกของเซต
นิยาม
ในคณิตศาสตร์เชิงการจัด
การเรียงสับเปลี่ยน เป็นการทำให้เข้าใจว่าหมายถึง "ลำดับ" ที่ประกอบด้วยสมาชิกจากเซตจำกัด และแต่ละตัวมีเพียงตัวเดียว แนวคิดของลำดับนั้นแตกต่างจากแนวคิดของเซต นั่นคือสมาชิกของลำดับจะปรากฏโดยลำดับอย่างหนึ่ง ซึ่งมีสมาชิกตัวที่หนึ่ง ตัวที่สอง ฯลฯ ต่างกับสมาชิกของเซตซึ่งไม่มีการเรียงลำดับ เช่น {1, 2, 3} กับ {3, 2, 1} ก็ถือว่าเป็นเซตเดียวกัน
อย่างไรก็ตาม ความหมายดั้งเดิมของการเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดก็ยังคงมีอยู่ นั่นคือการเรียงสับเปลี่ยนหมายถึงลำดับเช่นนั้น (ดังที่ได้กล่าวแล้ว) โดยที่สมาชิกแต่ละตัวปรากฏอย่างมากแค่หนึ่งครั้ง แต่ไม่ใช่สมาชิกทุกตัวในเซตที่นำมาใช้
สำหรับอีกแนวความคิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องในการเรียงลำดับของสมาชิกที่ถูกเลือก ซึ่งการเรียงลำดับไม่มีความสำคัญ ดูเพิ่มที่ การจัดหมู่ (combination)
ในทฤษฎีกรุป
สมาชิกของการเรียงสับเปลี่ยนไม่จำเป็นต้องจัดเรียงอยู่ใน หรือแม้กระทั่งไม่จำเป็นต้องเรียงลำดับก็ได้ ภายใต้การนิยามที่ปรับแต่งแล้วนี้ การเรียงสลับเปลี่ยนจึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) จากเซตจำกัดหนึ่งไปยังเซตตัวเอง กรณีเช่นนี้สามารถใช้ได้กับการนิยามกรุปของการเรียงสับเปลี่ยน ดูเพิ่มที่ (permutation group)
การนับจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยน
ในส่วนนี้จะกล่าวถึงเฉพาะตามแนวคิดดั้งเดิมในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเท่านั้น นั่นคือการเรียงสับเปลี่ยนคือลำดับที่มีการจัดอันดับ ของสมาชิกที่ถูกเลือกจากเซตจำกัดโดยไม่มีการเลือกซ้ำ และไม่สำคัญว่าจะต้องใช้สมาชิกทุกตัว ตัวอย่างเช่น สมมติกำหนดให้เซตของตัวอักษร {C, E, G, I, N, R} การเรียงสับเปลี่ยนบางส่วนของเซตนี้เช่น ICE, RING, RICE, NICER, REIGN และ CRINGE เป็นต้น หรือแม้แต่ RNCGI ซึ่งเป็นลำดับที่ไม่จำเป็นต้องมีคำที่มีความหมาย ส่วนคำว่า ENGINE ไม่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนเพราะว่ามีสมาชิก E กับ N ซ้ำสองครั้ง
ถ้าให้ n แทนขนาดของเซต นั่นคือจำนวนสมาชิกที่มีในเซต การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ที่ "ใช้สมาชิกทั้งหมดทุกตัว" ในครั้งแรกจะมีตัวเลือกทั้งหมด n ตัวสำหรับสมาชิกของลำดับตัวที่หนึ่ง และเมื่อสมาชิกตัวที่หนึ่งถูกเลือกไปแล้ว จะเหลือสมาชิก n − 1 ตัวสำหรับลำดับตัวที่สอง เมื่อสมาชิกถูกเลือกไปแล้วสองตัว การเรียงสับเปลี่ยนจึงสามารถเป็นไปได้
- n × (n − 1) วิธี
สมาชิกตัวถัดไปของลำดับก็เลือกได้ n − 2 วิธี, n − 3 วิธี ฯลฯ อย่างนี้เรื่อยไปจนเหลือสมาชิกตัวสุดท้ายในเซตเพียงตัวเดียว การเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้สมาชิกทั้งหมดจึงเป็นไปได้
- n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1 = n! วิธี
"!" คือ แฟกทอเรียล ในกรณีที่การเรียงสับเปลี่ยนไม่ได้ใช้สมาชิกทุกตัวในเซต กำหนดให้ r เป็นจำนวนสมาชิกที่ถูกเลือกจากเซต (0 ≤ r ≤ n) จำนวนตัวเลือกในการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ จึงหยุดลงเมื่อได้สมาชิกครบ r ตัว ดังนี้
- n × (n − 1) × (n − 2) × … × (n − r + 1) วิธี
จำนวนที่หายไปคือ (n − r) × (n − r − 1) × … × 2 × 1 = (n − r)! นั่นคือเราต้องเอาจำนวนนี้ไปหารออกจาก n! จึงจะได้จำนวนวิธีที่เหลือ สรุปได้เป็น
เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์หลายแบบเช่น
ในกรณีที่ n = r สูตรดังกล่าวจะกลายเป็น
ด้วยเหตุผลว่า 0! = 1 เนื่องจาก 0! คือผลคูณว่างซึ่งจะเท่ากับ 1 เสมอ
การเรียงสับเปลี่ยนในทฤษฎีกรุป
ดังที่ได้อธิบายไว้แล้วในส่วนต้น การเรียงสับเปลี่ยนของเซตในทฤษฎีกรุป เป็น (หรือฟังก์ชัน) แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) จากเซตจำกัดไปบนเซตตัวเอง ดังนั้นการสร้างการเรียงสับเปลี่ยนของจำนวน 1 ถึง 10 จะแปลความหมายได้ว่าเป็นการจับคู่ของเซต {1, …, 10} ไปยังเซตเดิม เป็นต้น
การเรียงสับเปลี่ยนของเซตสามารถพิจารณาได้ว่าเป็น (filtration คือสายโซ่ของเซตย่อย) ตัวอย่างเช่นลำดับ {0, 1, 2} จะสมนัยกับฟิลเทรชัน {0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1, 2}
ดูเพิ่ม
wikipedia, แบบไทย, วิกิพีเดีย, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด, บทความ, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม, มือถือ, โทรศัพท์, Android, iOS, Apple, โทรศัพท์โมบิล, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, พีซี, web, เว็บ, คอมพิวเตอร์
bthkhwamniimmikarxangxingcakaehlngthimaidkrunachwyprbprungbthkhwamni odyephimkarxangxingaehlngthimathinaechuxthux enuxkhwamthiimmiaehlngthimaxacthukkhdkhanhruxlbxxk eriynruwacanasaraemaebbnixxkidxyangiraelaemuxir inhlaysakhakhxngkhnitsastr kareriyngsbepliyn xngkvs permutation xacmikhwamhmaythiaetktangkndngthicaidklawtxip sungthnghmdnnekiywkbkarcbkhutang khxngest ipyngsmachiktwxuninestediywkn twxyangechn karepliynladbsmachikkhxngestniyaminkhnitsastrechingkarcd kareriyngsbepliyn epnkarthaihekhaicwahmaythung ladb thiprakxbdwysmachikcakestcakd aelaaetlatwmiephiyngtwediyw aenwkhidkhxngladbnnaetktangcakaenwkhidkhxngest nnkhuxsmachikkhxngladbcapraktodyladbxyanghnung sungmismachiktwthihnung twthisxng l tangkbsmachikkhxngestsungimmikareriyngladb echn 1 2 3 kb 3 2 1 kthuxwaepnestediywkn xyangirktam khwamhmaydngedimkhxngkareriyngsbepliynthiichinkhnitsastrechingkarcdkyngkhngmixyu nnkhuxkareriyngsbepliynhmaythungladbechnnn dngthiidklawaelw odythismachikaetlatwpraktxyangmakaekhhnungkhrng aetimichsmachikthuktwinestthinamaich sahrbxikaenwkhwamkhidhnungthiekiywkhxnginkareriyngladbkhxngsmachikthithukeluxk sungkareriyngladbimmikhwamsakhy duephimthi karcdhmu combination inthvsdikrup smachikkhxngkareriyngsbepliynimcaepntxngcderiyngxyuin hruxaemkrathngimcaepntxngeriyngladbkid phayitkarniyamthiprbaetngaelwni kareriyngslbepliyncungepnfngkchnhnungtxhnungthwthung bijection cakestcakdhnungipyngesttwexng krniechnnisamarthichidkbkarniyamkrupkhxngkareriyngsbepliyn duephimthi permutation group karnbcanwnwithikareriyngsbepliyninswnnicaklawthungechphaatamaenwkhiddngediminkhnitsastrechingkarcdethann nnkhuxkareriyngsbepliynkhuxladbthimikarcdxndb khxngsmachikthithukeluxkcakestcakdodyimmikareluxksa aelaimsakhywacatxngichsmachikthuktw twxyangechn smmtikahndihestkhxngtwxksr C E G I N R kareriyngsbepliynbangswnkhxngestniechn ICE RING RICE NICER REIGN aela CRINGE epntn hruxaemaet RNCGI sungepnladbthiimcaepntxngmikhathimikhwamhmay swnkhawa ENGINE imepnkareriyngsbepliynephraawamismachik E kb N sasxngkhrng thaih n aethnkhnadkhxngest nnkhuxcanwnsmachikthimiinest kareriyngsbepliynthiepnipidthi ichsmachikthnghmdthuktw inkhrngaerkcamitweluxkthnghmd n twsahrbsmachikkhxngladbtwthihnung aelaemuxsmachiktwthihnungthukeluxkipaelw caehluxsmachik n 1 twsahrbladbtwthisxng emuxsmachikthukeluxkipaelwsxngtw kareriyngsbepliyncungsamarthepnipid n n 1 withi dd smachiktwthdipkhxngladbkeluxkid n 2 withi n 3 withi l xyangnieruxyipcnehluxsmachiktwsudthayinestephiyngtwediyw kareriyngsbepliynthiichsmachikthnghmdcungepnipid n n 1 n 2 2 1 n withi dd khux aefkthxeriyl inkrnithikareriyngsbepliynimidichsmachikthuktwinest kahndih r epncanwnsmachikthithukeluxkcakest 0 r n canwntweluxkinkareriyngsbepliynthiepnipid cunghyudlngemuxidsmachikkhrb r tw dngni n n 1 n 2 n r 1 withi dd canwnthihayipkhux n r n r 1 2 1 n r nnkhuxeratxngexacanwnniipharxxkcak n cungcaidcanwnwithithiehlux srupidepn P n r n n r displaystyle mathbf P n r frac n n r dd ekhiynaethniddwysylksnhlayaebbechn P n r nPr Prn n r displaystyle mathbf P n r n mathbf P r mathbf P r n n r inkrnithi n r sutrdngklawcaklayepn P n n n 0 n 1 n displaystyle mathbf P n n frac n 0 frac n 1 n dd dwyehtuphlwa 0 1 enuxngcak 0 khuxphlkhunwangsungcaethakb 1 esmxkareriyngsbepliyninthvsdikrupdngthiidxthibayiwaelwinswntn kareriyngsbepliynkhxngestinthvsdikrup epn hruxfngkchn aebbhnungtxhnungthwthung bijection cakestcakdipbnesttwexng dngnnkarsrangkareriyngsbepliynkhxngcanwn 1 thung 10 caaeplkhwamhmayidwaepnkarcbkhukhxngest 1 10 ipyngestedim epntn kareriyngsbepliynkhxngestsamarthphicarnaidwaepn filtration khuxsayoskhxngestyxy twxyangechnladb 0 1 2 casmnykbfilethrchn 0 0 1 0 1 2 duephimkarcdhmubthkhwamkhnitsastrniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodykarephimetimkhxmuldk