การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ

e เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828 สามารถนิยามได้หลายวิธี เช่น e เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน ${\displaystyle e^{x}}$ มีค่าเท่ากับความชัน (derivative) ของตัวเองสำหรับทุกจำนวนจริง x หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะอยู่ในรูป ${\displaystyle ke^{x}}$ เมื่อ k เป็นค่าคงตัวใด ๆ นอกจากนี้ e ยังมีค่าเท่ากับ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) นอกจากนี้ ${\displaystyle e}$ สามารถคำนวณได้โดยสูตรอนุกรมอนันต์ (Infinite series) นี้:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+...}$

ค่าคงที่ ${\displaystyle e}$ สามารถทำให้อยู่ในรูปสมการได้หลายรูปแบบ ยกตัวอย่างเช่น ฟังชั่นต์ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์ (Derivative) ของตัวเอง มีเอกลักษณ์แตกต่างจากฟังก์ชันอื่น

ส่วนลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือ ฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชันเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1) สามารถหาได้โดยตรงจากพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 1 และ e จะเท่ากับ ln(e) (ลอการิทึมธรรมชาติของ e) หรือ 1

กราฟสมการ y = 1/x ในที่นี้ e คือตัวเลขเดียวจากเลขหนึ่ง ที่ทำให้พื้นที่ใต้กราฟมีค่าเท่ากับ 1

e มักแรียกกันว่า จำนวนของออยเลอร์ (Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ, ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่า คือค่าคงตัวเนเปียร์ ตามจอห์น เนเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบลอการิทึม อนึ่งค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดย ยาค็อบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น

e เป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ โดย e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ จำนวนอดิศัย เหมือนกับค่า ${\displaystyle \pi }$ โดยค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และ ${\displaystyle i}$ มีบทบาทที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ และ มักปรากฏตัวในสมหารทางคณิตศาสตร์ โดยมีสมการหนึ่งที่รวมค่าคงตัวทั้งห้านี้เอาไว้ในสมการเดียว เรียกว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ อันได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิดศาสตร์

ค่า e ที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...(ลำดับ A001113 ใน OEIS).

การประยุกต์ใช้ e

การคิดดอกเบี้ยทบต้น

ยาค็อบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli)ค้นพบค่า ${\displaystyle e}$ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:

สมมุติว่าบัญชีธนาคารมีเงิน 1 บาทและได้รับดอกเบี้ยร้อยละ 100 ต่อปี แน่นอนว่าถ้าดอกเบี้ยมีการทบต้นทุก ๆ ปี สิ้นปีนี้ในบัญชีนี้จะมีเงินอยู่ 2 บาท แต่หากดอกเบี้ยมีการทบต้นด้วยความถี่มากกว่านี้ จำนวนเงินในบัญชีจะเป็นอย่างไร?

หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้ 1.5² = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.25⁴ = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)¹² = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น ${\displaystyle n}$ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ ${\displaystyle 100\%/n}$และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$บาท

แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่า ${\displaystyle e}$ นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน ${\displaystyle N}$บาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา ${\displaystyle R}$ ต่อปี จะมีเงินจำนวน ${\displaystyle Ne^{Rt}}$เมื่อเวลาผ่านไป ${\displaystyle t}$ ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)

การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (สถิติศาสตร์)

การแจกแจงปรกติ (Normal distribution) ที่มีค่า μ = 0 และ σ² = 1 จะถูกเรียกว่า การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (Probability density function):

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

เมื่อ ${\displaystyle \sigma }$ เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ ${\displaystyle \mu }$ เป็นค่าเฉลี่ย

ความน่าจะเป็น

ในวิชาความน่าจะเป็น พบ e ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n ใบ โดยหมวกและกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}$

ซึ่งเมื่อจำนวนแขก ${\displaystyle n}$เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา ${\displaystyle 1/e}$

การประมาณของสเตอร์ลิง

e ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

ซึ่งแปลว่า

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$

แคลคูลัส

กราฟแสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = e^x ที่จุด x = 0

หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า ${\displaystyle e}$ คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle y=a^{x}}$ จากนิยามของอนุพันธ์

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับ ${\displaystyle x}$ แต่ขึ้นกับฐาน ${\displaystyle a}$ เพียงอย่างเดียว โดยที่ ${\displaystyle e}$ คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์

ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle y=\log _{a}x}$จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{n\to 0}(1+{\frac {1}{n}})^{n}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

โดย ${\displaystyle n=x/h}$

ดังนั้นถ้าแทน ${\displaystyle a}$เป็น ${\displaystyle e}$จะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}}$

ลอการิทึมฐาน ${\displaystyle e}$ นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วย ${\displaystyle \ln }$ดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่า ${\displaystyle e}$เป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส

จากคุณสมบัติที่ ${\displaystyle \ln x}$มี ${\displaystyle 1/x}$เป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยาม ${\displaystyle e}$อีกวิธีคือ

${\displaystyle \int _{0}^{e}{\frac {dt}{t}}=1}$

ทฤษฎีจำนวน

${\displaystyle e}$เป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัย นั่นแปลว่า ${\displaystyle e}$ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า ${\displaystyle e}$เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่า ${\displaystyle e}$เขียนเป็น(เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์)ได้ สำหรับการที่ ${\displaystyle e}$เป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่า ${\displaystyle e}$เป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต

จำนวนเชิงซ้อน

ในระบบจำนวนจริง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ${\displaystyle e^{x}}$สามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}$

ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของ ${\displaystyle e^{x}}$ไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชัน ${\displaystyle e^{x}}$สำหรับจำนวนเชิงซ่อนใด ๆ

จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ ${\displaystyle \sin x}$และ ${\displaystyle \cos x}$นำไปสู่สูตรของออยเลอร์ ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$(ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์ ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$เป็นกรณีพิเศษที่ ${\displaystyle x=\pi }$) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์ ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=\cos {nx}+i\sin {nx}}$

ดูเพิ่ม

• การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ

อ้างอิง

1. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) (2013). "natural logarithms [Napierian logarithms] ลอการิทึมฐาน e". พจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์-คณิตศาสตร์ สสวท. อังกฤษ-ไทย. บริษัท อินเตอร์เอดูเคชั่น ซัพพลายส์ จำกัด. p. 79. ISBN .
2. Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
3. O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics.
4. Pickover, Clifford A. (2009). "Euler's Number, e". The Math Book. p. 166. ISBN .
5. รองศาสตราจารย์ ดร.ปิยะ โควินท์ทวีวัฒน์ (2015). มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม. "การสื่อสารดิจิตัล ตัวแปรสุ่มและกระบวนการสุ่ม 2020-10-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน".
6. Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability theory 2011-07-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน (published online under the GFDL), p. 85.
7. Sandifer, Ed (กุมภาพันธ์ 2006). (PDF). คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2014-02-23. สืบค้นเมื่อ 2019-05-03.{{}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown () 2014-02-23 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน