การก้าวหน้าเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเรขาคณิตลำดับหนึ่งคือ a₁ และมีอัตราส่วนร่วม r ≠ 0 ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

${\displaystyle a_{n}=a_{1}r^{n-1}\,\!}$

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

${\displaystyle a_{n}=a_{m}r^{n-m}\,\!}$

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

${\displaystyle a_{n}=ra_{n-1}\,\!}$

สมบัติเบื้องต้น

การที่จะทำให้ทราบได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิตหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะมีค่าเท่ากันทั้งลำดับ อัตราส่วนร่วมอาจเป็นค่าติดลบก็ได้ ซึ่งจะทำให้เกิดลำดับสลับเครื่องหมาย หมายความว่าจำนวนจะสลับเครื่องหมายบวกลบตลอดทั้งลำดับ เช่น 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ −3

พฤติกรรมของจำนวนในการลำดับเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนร่วม ดังนี้

• ถ้าเป็นจำนวนบวก ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก
• ถ้าเป็นจำนวนลบ ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน
• ถ้ามากกว่า 1 ลำดับนั้นจะ (exponential growth) ไปยังอนันต์
• ถ้าเท่ากับ 1 ลำดับนั้นจะคงที่ทุกพจน์
• ถ้ามีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 แต่ไม่เป็น 0 ลำดับนั้นจะ (exponential decay) ไปยัง 0
• ถ้าเท่ากับ −1 ลำดับนั้นจะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน แต่ค่าตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง
• ถ้าน้อยกว่า −1 ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่างๆ จะไปยังอนันต์

จะเห็นว่าลำดับเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของลำดับเลขคณิต แต่ลำดับทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของลำดับเลขคณิตก็จะได้ลำดับเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของลำดับเรขาคณิตก็จะได้ลำดับเลขคณิต

ผลรวม

ผลรวมของสมาชิกในลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric series)

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,\!}$

เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ${\displaystyle (1-r)}$ แล้วเราจะได้

${\displaystyle (1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a-ar^{n+1}\,\!}$

ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-1)}{r-1}}}$

ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-r^{m})}{r-1}}}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย ${\displaystyle (1-r^{2})}$

${\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}}$

จะได้สูตร

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่

${\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}}$

จะได้สูตร

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}}$

อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด

อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง (${\displaystyle |r|<1}$) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}$

ซึ่ง ${\displaystyle r^{k}}$ จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์และ ${\displaystyle |r|<1}$ ดังนั้น

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}}$

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ ${\displaystyle |r|<1}$ เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

ผลคูณ

ผลคูณของลำดับเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้วยกกำลังด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้

${\displaystyle \prod _{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n+1}}}\right)^{n+1}}$ เมื่อ ${\displaystyle a,r>0}$

พิสูจน์

กำหนดให้ผลคูณของลำดับเลขคณิตแทนด้วย P

${\displaystyle P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}$

รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้

${\displaystyle P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}$

นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ r

${\displaystyle P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}$

${\displaystyle P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}}$

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

${\displaystyle P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}}$

และในที่สุดก็จะได้

${\displaystyle P^{2}=(a_{1}\cdot a_{n+1})^{n+1}}$

${\displaystyle P=(a_{1}\cdot a_{n+1})^{\frac {n+1}{2}}}$

ดูเพิ่ม

• อนุกรมเรขาคณิต
• ลำดับเลขคณิต

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Geometric Sequence" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Geometric Series" จากแมทเวิลด์.