กลศาสตร์ลากร็องฌ์ (อังกฤษ: Lagrangian Machanics) เป็นกลศาสตร์แบบหนึ่งที่อยู่ภายในขอบเขตของกลศาสตร์ดั้งเดิม (อังกฤษ: Classical Machanics)เช่นเดียวกับกฎของนิวตัน ซึ่งกฎข้อที่สองของนิวตันสามารถทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยมีหัวใจสำคัญ คือ การหาแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ และโดยทั่วไปปัญหาทางกลศาสตร์มีความซับซ้อนค้อนข้างมาก เช่นการเคลื่อนที่ของวัตถุบนผิวทรงกลม เมื่อการคำนวณหาแรงลัพธ์มีความยากลำบาก กลศาสตร์ของนิวตันจึงไม่เหมาะสมที่จะนำมาศึกษากลศาสตร์ที่มีความซับซ้อนได้ แนวคิดด้านกลศาสตร์แบบใหม่ที่เข้ามาอธิบายกลศาสตร์ที่มีความซับซ้อน คือ กลศาสตร์ลากรองจ์ ถูกเสนอใน ค.ศ. 1788 โดย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส - อิตาลี โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ การคำนวณแบบกลศาสตร์ลากรองจ์สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ ที่มีความซับซ้อนและแก้ปัญหาด้วยกลศาสตร์นิวตันได้ยาก เช่น ปัญหาที่มีมวลมากกว่า 1 อัน ความง่ายของกลศาสตร์นี้ คือ ไม่ใช้แรงในการคำนวณ แต่จะใช้พิกัดทั่วไปและระบบพลังงานในการแก้ปัญหา เนื่องจากพลังงานเป็นปริมาณสเกลาร์การคำนวณจึงง่ายกว่าการแก้ปัญหาแบบเวกเตอร์ กลศาสตร์ลากร็องฌ์สามารถพัฒนารูปแบบสมการจนไปถึง (Lagrangian density) การที่จะได้มาซึ่งกลศาสตร์ลากร็องฌ์มีอยู่ 3 วิธี
- การพิสูจน์สมการลากร็องฌ์จาก (Newton’s second law)
- การพิสูจน์สมการลากร็องฌ์จากหลักการดาล็องแบร์ (D’Alembert Principle)
- พิสูจน์จาก (Hamilton’s Principle)
หลักการ
สมการลากร็องฌ์ เกิดจากผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ภายในระบบซึ่งมีรูปแบบดังนี้
เมื่อ คือ ลากรางเจียน (Lagrangian), คือ พลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบ, คือ พลังงานศักย์ทั้งหมดของระบบ
สมการดังกล่าว มีความสัมพันธ์ตามสมการออยเลอร์-ลากร็องฌ์ () ดังนี้
โดย คือพิกัดทั่วไป (generalized coordinate) ของระบบ
จะเห็นสมการลากรองจ์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกฎอนุรักษ์พลังงานและเป็นสเกลาร์ แตกต่างจากสมการของนิวตันซึ่งเกี่ยวข้องกับแรงและเป็นปริมาณเวกเตอร์
ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อย ๆ
ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อย ๆ อาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากสมการการเคลื่อนที่ของลากร็องฌ์ สมการการเคลื่อนที่ของฮามิลตัน อนุกรมเทย์เลอร์ และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน โดยใช้เมตริกซ์เทนเซอร์ในการแก้ปัญหา เพื่อที่จะเข้าใจทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อย ๆ เราจำเป็นต้องรู้ความสัมพันธ์ของพลังงานศักย์กับการสมดุล ว่าด้วยเงื่อนไขของการเสถียรของระบบ ซึ่งเป็นพื้นฐานที่จะเข้าในทฤษฎีนี้ ซึ่งสามารถประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบเสถียร เมื่อระบบสมดุลเราจะได้ว่า -- (1)
สมการที่ (1) แสดงพลังงานศักย์ V มี extremun value ในระบบที่สมดุล สรุปได้ว่าภาวะสมดุลเสถียรเกิดขึ้น เมื่อระบบมีจุดสมดุลที่มีพลังงานศักย์ต่ำที่สุด สำหรับกรณี จะมีจุดสมดุล และ ซึ่งจะมีจุดสมดุลดังนี้
- สมดุลเสถียร (Stable Equilibrium) เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นบวก หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุดสมดุลเสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย (Small Disturbance) ระบบเกิดการเคลื่อนแบบถูกกัก (Bounced Motion) รอบจุดสมดุลเมื่อ โดยที่จุดสมดุลมี น้อยที่สุด
- สมดุลไม่เสถียร (Unstable Equilibrium) เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นลบ หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุดสมดุลไม่เสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย ระบบจะเกิดการเคลื่อนที่แบบไม่โดนกัก (Unbounced Motion) และไม่สามารถเคลื่อนที่กลับมาที่จุดสมดุลได้อีกเมื่อ โดยที่จุดสมดุลได้ มากที่สุด
ถ้า เราจะต้องพิจารณาอนุพันธ์ที่สูงขึ้นไปคือ
- สมดุลเสถียร เมื่อ ที่ n > 2 เป็นจำนวนคู่
- สมดุลไม่เสถียร เมื่อ ที่ n > 2 เป็นจำนวนคี่ และสมดุลไม่เสถียร เมื่อ ที่ n > 0 และเป็นจำนวนคู่
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อย ๆ สามารถนำไปอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มที่ติดมวลมากกว่าหนึ่ง หรือวัตถุติดสปริง หรือวัตถุที่มีการสั่นเป็นแอมปลิจูดน้อย ๆ
ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อย ในการแก้ไขปัญหาบางปัญหาที่มีความซับซ้อนจนเราไม่สามารถหาผลเฉลยของสมการอนุพันธ์เพื่ออธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ได้ จึงมีวิธีการที่จะประมาณลักษณะการเคลื่อนที่โดยพิจารณนาลักษณะการเคลื่อนที่รอบ ๆ (Equilibrium position) การเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ เรียกว่า การสั่นอย่างเล็กน้อย (Small oscillation)
ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อยพบตัวอย่างการใช้งานทางด้านกายภาพอย่างแพร่หลายในความรู้เรื่องเสียง (Acoustics) การแผ่รังสีของโมเลกุล () และ (Coupled electrical circuit)
จากกลศาสตร์นิวตันสู่กลศาสตร์ลากร็องฌ์
กฏของนิวตัน เพื่อความเรียบง่าย กฎของนิวตันสามารถอธิบายสำหรับอนุภาคหนึ่ง ๆ โดยที่ไม่มีการสูญเสียมวลมากนัก (สำหรับระบบของอนุภาค N สมการเหล่านี้ใช้กับอนุภาคแต่ละตัวในระบบ)
สมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคของมวล m คือกฎข้อที่สองของนิวตันใน ค.ศ. 1687 ซึ่งเป็นการใช้สัญกรณ์เวกเตอร์สมัยใหม่ ณ ขณะนั้น
เมื่อ a คือความเร่ง และ F คือแรงลัพธ์ ที่กระทำกับระบบ ซึ่งอยู่ในระบบ 3 มิติ แล้วระบบนี้จะรวมกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา เนื่องจากมีสมการเวกเตอร์ทั้งสามตัวเป็นองค์ประกอบ การแก้ปัญหาคือ ตำแหน่งของเวกเตอร์ r ของอนุภาคในเวลา t การแก้ปัญหาที่มี R เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา t ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นของ r และ v เมื่อ t = 0
กฎของนิวตันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำมาพิจารณาใช้ในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่พิกัดคาร์ทีเซียนก็ไม่สะดวกเสมอไป และสำหรับระบบพิกัดอื่น ๆ การใช้สมการการเคลื่อนที่ของนิวตันจะกลายเป็นเรื่องซับซ้อน ในชุดของ พิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates) ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) กฎในดรรชนีเทนเซอร์ (tensor) คือฟอร์มลากร็องฌ์
ในกรณีที่ Fa เป็นส่วนประกอบความไม่แปรผัน ของแรงที่เกิดขึ้นกับอนุภาค, Γabc เป็นสัญลักษณ์ Christoffel ของชนิดที่สอง
เป็นพลังงานจลน์ของอนุภาค และ gbc เป็นส่วนประกอบที่แปรปรวนของเมตริกซ์เทนเซอร์ของระบบพิกัดแบบโค้ง ดัชนีทั้งหมด a, b, c แต่ละค่าจะมีค่า 1, 2, 3 ซึ่งพิกัดเส้นโค้งไม่เหมือนกันกับพิกัดทั่วไป
อาจดูเหมือนเป็นเรื่องซับซ้อนเกินไปที่จะใช้กฎของนิวตันในรูปแบบนี้ แต่ก็มีข้อได้เปรียบ
ส่วนประกอบของการเร่งในแง่ของสัญลักษณ์ Christoffel สามารถหลีกเลี่ยงได้ โดยการประเมินอนุพันธ์ของพลังงานจลน์แทน
ถ้าไม่มีแรงที่เกิดขึ้นกับอนุภาค คือ F = 0 จะไม่เกิดการเร่ง แต่จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เป็นเส้นตรง ในทางคณิตศาสตร์การแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์คือจีออเดสิก (geodesics) นั่นคือเส้นโค้งของความยาวสุดขีดระหว่างจุดสองจุดในพื้นที่ (ซึ่งอาจจะน้อยที่สุด ดังนั้นคือเส้นทางที่สั้นที่สุด แต่ก็ไม่จำเป็น) ในพื้นที่จริงที่ว่างเปล่า แบบ 3D geodesics จะเป็นเส้นตรงเท่านั้น
ดังนั้นสำหรับอนุภาคอิสระ กฎข้อที่สองของนิวตันจึงเกิดขึ้นพร้อมกับสมการเชิง geodesic และระบุอนุภาคอิสระตาม geodesics ซึ่งเป็นวิถีขีดสุดที่สามารถเคลื่อนที่ไปได้ ถ้าอนุภาคตกอยู่ภายใต้แรง F ที่ไม่เท่ากับ 0 อนุภาคจะมีความเร่งขึ้นเนื่องจากแรงที่กระทำต่อมัน และจะออกไปจาก geodesics ที่จะปฏิบัติตามถ้าเป็นอิสระ ด้วยความเหมาะสมของปริมาณที่กำหนดไว้ในที่ราบแบบแบนด์เวิร์ค 3 มิติ จนถึงกาลอวกาศโค้ง 4 มิติ รูปแบบข้างต้นของกฎนิวตันจะนำมาสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ซึ่งในกรณีนี้อนุภาคอิสระจะตาม geodesics ในส่วนโค้งกาล-อวกาศซึ่งไม่มี "เส้นตรง" กรณีสามัญ
อย่างไรก็ตามเรายังจำเป็นต้องทราบผลรวมของแรง F ที่กระทำกับอนุภาค ซึ่งจะต้องใช้แรงที่ไม่มีข้อจำกัด บวกกับแรงที่มีข้อจำกัด C
แรงข้อจำกัด อาจมีความซับซ้อน เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจะขึ้นอยู่กับเวลา นอกจากนี้ถ้ามีข้อจำกัด ขอบเขตพิกัดไม่ได้เป็นอิสระ แต่เกี่ยวขึ้นกับสมการข้อจำกัดอย่างน้อยหนึ่งข้อ
แรงข้อจำกัด สามารถถูกกำจัดออกจากสมการของการเคลื่อนที่ จึงทำให้ แรงที่ไม่มีข้อจำกัดจะคงอยู่ หรือรวมอยู่ในสมการ ข้อจำกัดของสมการการเคลื่อนที่
อ้างอิง
- สุธี บุญช่วย (2013). กลศาสตร์คลาสสิก (1 ed.). กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์. ISBN .
- Kay, David C. (1988). Schuam's outline of Theory and Problems of Tensor Calculus. McGraw-Hill. p. 156. ISBN .
- Synge, John Lighton; Schild, Alfred (1949). Tensor Calculus. Mathematical expositions. Vol. 5 (reprint ed.). University of Toronto Press. pp. 150–152. ISBN .
wikipedia, แบบไทย, วิกิพีเดีย, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด, บทความ, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม, มือถือ, โทรศัพท์, Android, iOS, Apple, โทรศัพท์โมบิล, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, พีซี, web, เว็บ, คอมพิวเตอร์
klsastrlakrxngch xngkvs Lagrangian Machanics epnklsastraebbhnungthixyuphayinkhxbekhtkhxngklsastrdngedim xngkvs Classical Machanics echnediywkbkdkhxngniwtn sungkdkhxthisxngkhxngniwtnsamarththanaykarekhluxnthikhxngwtthuodymihwicsakhy khux karhaaernglphththikrathatxwtthu aelaodythwippyhathangklsastrmikhwamsbsxnkhxnkhangmak echnkarekhluxnthikhxngwtthubnphiwthrngklm emuxkarkhanwnhaaernglphthmikhwamyaklabak klsastrkhxngniwtncungimehmaasmthicanamasuksaklsastrthimikhwamsbsxnid aenwkhiddanklsastraebbihmthiekhamaxthibayklsastrthimikhwamsbsxn khux klsastrlakrxngc thukesnxin kh s 1788 ody nkkhnitsastrchawfrngess xitali ochaesf hluys lakrxngch karkhanwnaebbklsastrlakrxngcsamarthnaipprayuktichkbkarekhluxnthiaebbtang thimikhwamsbsxnaelaaekpyhadwyklsastrniwtnidyak echn pyhathimimwlmakkwa 1 xn khwamngaykhxngklsastrni khux imichaernginkarkhanwn aetcaichphikdthwipaelarabbphlngnganinkaraekpyha enuxngcakphlngnganepnprimanseklarkarkhanwncungngaykwakaraekpyhaaebbewketxr klsastrlakrxngchsamarthphthnarupaebbsmkarcnipthung Lagrangian density karthicaidmasungklsastrlakrxngchmixyu 3 withi karphisucnsmkarlakrxngchcak Newton s second law karphisucnsmkarlakrxngchcakhlkkardalxngaebr D Alembert Principle phisucncak Hamilton s Principle hlkkarsmkarlakrxngch ekidcakphltangrahwangphlngnganclnaelaphlngnganskyphayinrabbsungmirupaebbdngniL q q T q q V q displaystyle mathcal L q dot q T q dot q V q emux L displaystyle mathcal L khux lakrangeciyn Lagrangian T displaystyle T khux phlngnganclnthnghmdkhxngrabb V displaystyle V khux phlngnganskythnghmdkhxngrabb smkardngklaw mikhwamsmphnthtamsmkarxxyelxr lakrxngch dngni0 ddt L q j L qj displaystyle 0 frac d dt left frac partial mathcal L partial dot q j right frac partial mathcal L partial q j ody qj displaystyle q j khuxphikdthwip generalized coordinate khxngrabb caehnsmkarlakrxngc sungekiywkhxngkbkdxnurksphlngnganaelaepnseklar aetktangcaksmkarkhxngniwtnsungekiywkhxngkbaerngaelaepnprimanewketxrthvsdikaraekwngkwdepnmumnxy thvsdikaraekwngkwdepnmumnxy xasyaenwkhidphunthanmacaksmkarkarekhluxnthikhxnglakrxngch smkarkarekhluxnthikhxnghamiltn xnukrmethyelxr aelakdkarekhluxnthikhxngniwtn odyichemtriksethnesxrinkaraekpyha ephuxthicaekhaicthvsdikaraekwngkwdepnmumnxy eracaepntxngrukhwamsmphnthkhxngphlngnganskykbkarsmdul wadwyenguxnikhkhxngkaresthiyrkhxngrabb sungepnphunthanthicaekhainthvsdini sungsamarthprayuktichkbkarekhluxnthiaebbesthiyr emuxrabbsmduleracaidwa Qk V qk 0 displaystyle Q k frac partial mathbf V partial q k 0 1 smkarthi 1 aesdngphlngngansky V mi extremun value inrabbthismdul srupidwaphawasmdulesthiyrekidkhun emuxrabbmicudsmdulthimiphlngnganskytathisud sahrbkrni V V q displaystyle V V q camicudsmdul F dVdq 0 displaystyle mathbf F frac mathrm d mathbf V mathrm d q 0 aela V V0 displaystyle V V 0 sungcamicudsmduldngni smdulesthiyr Stable Equilibrium epncudtasudkhxngfngkchn hruxepntaaehnngthixnuphnthxndbsxngmikhaepnbwk hmaykhwamwa tharabbxyuthicudsmdulesthiyraelw emuxthakarrbkwnrabbihekhluxnthixxkcakcudsmdulephiyngelknxy Small Disturbance rabbekidkarekhluxnaebbthukkk Bounced Motion rxbcudsmdulemux d2Vdq2 gt 0 displaystyle frac d 2 mathbf V dq 2 gt 0 odythicudsmdulmi V0 displaystyle V 0 nxythisudsmdulimesthiyr Unstable Equilibrium epncudsungsudkhxngfngkchn hruxepntaaehnngthixnuphnthxndbsxngmikhaepnlb hmaykhwamwa tharabbxyuthicudsmdulimesthiyraelw emuxthakarrbkwnrabbihekhluxnthixxkcakcudsmdulephiyngelknxy rabbcaekidkarekhluxnthiaebbimodnkk Unbounced Motion aelaimsamarthekhluxnthiklbmathicudsmdulidxikemux d2Vdq2 lt 0 displaystyle frac d 2 mathbf V dq 2 lt 0 odythicudsmdulid V0 displaystyle V 0 makthisud tha d2Vdq2 0 displaystyle frac d 2 mathbf V dq 2 0 eracatxngphicarnaxnuphnththisungkhunipkhux smdulesthiyr emux dnVdqn gt 0 displaystyle frac d n mathbf V dq n gt 0 thi n gt 2 epncanwnkhu smdulimesthiyr emux dnVdqn 0 displaystyle frac d n mathbf V dq n neq 0 thi n gt 2 epncanwnkhi aelasmdulimesthiyr emux dnVdqn lt 0 displaystyle frac d n mathbf V dq n lt 0 thi n gt 0 aelaepncanwnkhu karprayuktichthvsdikaraekwngkwdepnmumnxy samarthnaipxthibaykarekhluxnthikhxngluktumthitidmwlmakkwahnung hruxwtthutidspring hruxwtthuthimikarsnepnaexmplicudnxy thvsdikarsnxyangelknxy inkaraekikhpyhabangpyhathimikhwamsbsxncneraimsamarthhaphlechlykhxngsmkarxnuphnthephuxxthibaylksnakarekhluxnthiid cungmiwithikarthicapramanlksnakarekhluxnthiodyphicarnnalksnakarekhluxnthirxb Equilibrium position karekhluxnthiinlksnani eriykwa karsnxyangelknxy Small oscillation thvsdikarsnxyangelknxyphbtwxyangkarichnganthangdankayphaphxyangaephrhlayinkhwamrueruxngesiyng Acoustics karaephrngsikhxngomelkul aela Coupled electrical circuit cakklsastrniwtnsuklsastrlakrxngchIsaac Newton 1642 1727 ktkhxngniwtn ephuxkhwameriybngay kdkhxngniwtnsamarthxthibaysahrbxnuphakhhnung odythiimmikarsuyesiymwlmaknk sahrbrabbkhxngxnuphakh N smkarehlaniichkbxnuphakhaetlatwinrabb smkarkarekhluxnthikhxngxnuphakhkhxngmwl m khuxkdkhxthisxngkhxngniwtnin kh s 1687 sungepnkarichsykrnewketxrsmyihm n khnann F ma displaystyle mathbf F m mathbf a emux a khuxkhwamerng aela F khuxaernglphth thikrathakbrabb sungxyuinrabb 3 miti aelwrabbnicarwmkbsmkarechingxnuphnthsamyephuxichinkaraekpyha enuxngcakmismkarewketxrthngsamtwepnxngkhprakxb karaekpyhakhux taaehnngkhxngewketxr r khxngxnuphakhinewla t karaekpyhathimi R epnewketxrtaaehnngkhxngxnuphakhthiewla t phayitenguxnikherimtnkhxng r aela v emux t 0 kdkhxngniwtnepneruxngngaythicathamaphicarnaichinphikdkharthiesiyn aetphikdkharthiesiynkimsadwkesmxip aelasahrbrabbphikdxun karichsmkarkarekhluxnthikhxngniwtncaklayepneruxngsbsxn inchudkhxng phikdechingesnokhng curvilinear coordinates 3 31 32 33 kdindrrchniethnesxr tensor khuxfxrmlakrxngch Fa m d23adt2 Gabcd3bdtd3cdt ddt T 3 a T 3a 3 a d3adt displaystyle F a m left frac mathrm d 2 xi a mathrm d t 2 Gamma a bc frac mathrm d xi b mathrm d t frac mathrm d xi c mathrm d t right frac mathrm d mathrm d t frac partial T partial dot xi a frac partial T partial xi a quad dot xi a equiv frac mathrm d xi a mathrm d t inkrnithi Fa epnswnprakxbkhwamimaeprphn khxngaerngthiekidkhunkbxnuphakh Gabc epnsylksn Christoffel khxngchnidthisxng T 12mgbcd3bdtd3cdt displaystyle T frac 1 2 mg bc frac mathrm d xi b mathrm d t frac mathrm d xi c mathrm d t epnphlngnganclnkhxngxnuphakh aela gbc epnswnprakxbthiaeprprwnkhxngemtriksethnesxrkhxngrabbphikdaebbokhng dchnithnghmd a b c aetlakhacamikha 1 2 3 sungphikdesnokhngimehmuxnknkbphikdthwip xacduehmuxnepneruxngsbsxnekinipthicaichkdkhxngniwtninrupaebbni aetkmikhxidepriyb swnprakxbkhxngkarernginaengkhxngsylksn Christoffel samarthhlikeliyngid odykarpraeminxnuphnthkhxngphlngnganclnaethn thaimmiaerngthiekidkhunkbxnuphakh khux F 0 caimekidkarerng aetcaekhluxnthidwykhwamerwkhngthiepnesntrng inthangkhnitsastrkaraekpyhakhxngsmkarechingxnuphnthkhuxcixxedsik geodesics nnkhuxesnokhngkhxngkhwamyawsudkhidrahwangcudsxngcudinphunthi sungxaccanxythisud dngnnkhuxesnthangthisnthisud aetkimcaepn inphunthicringthiwangepla aebb 3D geodesics caepnesntrngethann dngnnsahrbxnuphakhxisra kdkhxthisxngkhxngniwtncungekidkhunphrxmkbsmkareching geodesic aelarabuxnuphakhxisratam geodesics sungepnwithikhidsudthisamarthekhluxnthiipid thaxnuphakhtkxyuphayitaerng F thiimethakb 0 xnuphakhcamikhwamerngkhunenuxngcakaerngthikrathatxmn aelacaxxkipcak geodesics thicaptibtitamthaepnxisra dwykhwamehmaasmkhxngprimanthikahndiwinthirabaebbaebndewirkh 3 miti cnthungkalxwkasokhng 4 miti rupaebbkhangtnkhxngkdniwtncanamasuthvsdismphththphaphthwipkhxngixnsitnsunginkrninixnuphakhxisracatam geodesics inswnokhngkal xwkassungimmi esntrng krnisamy xyangirktamerayngcaepntxngthrabphlrwmkhxngaerng F thikrathakbxnuphakh sungcatxngichaerngthiimmikhxcakd bwkkbaerngthimikhxcakd C F C N displaystyle mathbf F mathbf C mathbf N aerngkhxcakd xacmikhwamsbsxn enuxngcakodythwipaelwcakhunxyukbewla nxkcaknithamikhxcakd khxbekhtphikdimidepnxisra aetekiywkhunkbsmkarkhxcakdxyangnxyhnungkhx aerngkhxcakd samarththukkacdxxkcaksmkarkhxngkarekhluxnthi cungthaih aerngthiimmikhxcakdcakhngxyu hruxrwmxyuinsmkar khxcakdkhxngsmkarkarekhluxnthixangxingsuthi buychwy 2013 klsastrkhlassik 1 ed krungethph sankphimphmhawithyalyekstrsastr ISBN 978 616 556 112 9 Kay David C 1988 Schuam s outline of Theory and Problems of Tensor Calculus McGraw Hill p 156 ISBN 0 07 033484 6 Synge John Lighton Schild Alfred 1949 Tensor Calculus Mathematical expositions Vol 5 reprint ed University of Toronto Press pp 150 152 ISBN 0 8020 1031 8 bthkhwamfisiksniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodykarephimetimkhxmuldk