ในทางคณ ตศาสตร ส ญกรณ ล กศรของคน ธ อ งกฤษ Knuth s up arrow notation เป นส ญล กษณ ท ใช เข ยนแสดงจำนวนท ม ค ามาก ๆ ค ดค นโ

สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ

ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (อังกฤษ: Knuth's up-arrow notation) เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแสดงจำนวนที่มีค่ามาก ๆ คิดค้นโดย โดนัลด์ คนูธ เมื่อปี พ.ศ. 2519

นิยาม

การคูณ (multiplication) ของจำนวนนับสามารถนิยามโดยใช้การบวกได้ดังนี้

{\begin{matrix}ab&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}

เช่น

{\begin{matrix}3\times 2&=&\underbrace {3+3} &=&6\\&&2{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}

การยกกำลัง (exponentiation) ก็สามารถนิยามโดยใช้การคูณได้ดังนี้

{\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}

เช่น

{\begin{matrix}3\uparrow 2=3^{2}=&\underbrace {3\times 3} &=&9\\&2{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}

ซึ่งเป็นที่มาของการนิยาม () ซึ่งนิยามโดย

{\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow a\uparrow \dots \uparrow a} \\&&b{\mbox{ copies of }}a&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}

เช่น

{\begin{matrix}3\uparrow \uparrow 2&={\ ^{2}3}=&\underbrace {3^{3}} &=&\underbrace {3\uparrow 3} &=&27\\&&2{\mbox{ copies of }}3&&2{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}

ตัวอย่างของการเขียนสัญลักษณ์ลูกศรสองตัว ได้แก่

3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27

3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987

3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}

3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}

สัญลักษณ์ลูกศรสามตัว (pentation) นิยามโดย

{\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}

สัญลักษณ์ลูกศรสี่ตัว (hexation) นิยามโดย

{\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}

และนิยามเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ นั่นคือ

{\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ b=a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\\\quad \ \ \,n\qquad \ \ \ \underbrace {\quad n_{}\!-\!\!1\quad \ \,n\!-\!\!1\qquad \quad \ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ } \\\qquad \qquad \quad \ \ b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}

เช่น

3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987

{\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&7\,625\,597\,484\,987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}

wikipedia, แบบไทย, วิกิพีเดีย, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด, บทความ, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม, มือถือ, โทรศัพท์, Android, iOS, Apple, โทรศัพท์โมบิล, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, พีซี, web, เว็บ, คอมพิวเตอร์

inthangkhnitsastr sykrnluksrkhxngkhnuth xngkvs Knuth s up arrow notation epnsylksnthiichekhiynaesdngcanwnthimikhamak khidkhnody odnld khnuth emuxpi ph s 2519niyamkarkhun multiplication khxngcanwnnbsamarthniyamodyichkarbwkiddngni ab a a a b copies of a displaystyle begin matrix ab amp amp underbrace a a dots a amp amp b mbox copies of a end matrix dd echn 3 2 3 3 62 copies of 3 displaystyle begin matrix 3 times 2 amp amp underbrace 3 3 amp amp 6 amp amp 2 mbox copies of 3 end matrix dd karykkalng exponentiation ksamarthniyamodyichkarkhuniddngni a b ab a a a b copies of a displaystyle begin matrix a uparrow b a b amp underbrace a times a times dots times a amp b mbox copies of a end matrix dd echn 3 2 32 3 3 92 copies of 3 displaystyle begin matrix 3 uparrow 2 3 2 amp underbrace 3 times 3 amp amp 9 amp 2 mbox copies of 3 end matrix dd sungepnthimakhxngkarniyam sungniyamody a b ba aa a a a a b copies of ab copies of a displaystyle begin matrix a uparrow uparrow b amp b a amp underbrace a a a amp amp underbrace a uparrow a uparrow dots uparrow a amp amp b mbox copies of a amp amp b mbox copies of a end matrix dd echn 3 2 23 33 3 3 272 copies of 32 copies of 3 displaystyle begin matrix 3 uparrow uparrow 2 amp 2 3 amp underbrace 3 3 amp amp underbrace 3 uparrow 3 amp amp 27 amp amp 2 mbox copies of 3 amp amp 2 mbox copies of 3 end matrix dd twxyangkhxngkarekhiynsylksnluksrsxngtw idaek 3 2 33 27 displaystyle 3 uparrow uparrow 2 3 3 27 dd 3 3 333 327 7625597484987 displaystyle 3 uparrow uparrow 3 3 3 3 3 27 7625597484987 dd 3 4 3333 37625597484987 displaystyle 3 uparrow uparrow 4 3 3 3 3 3 7625597484987 dd 3 5 33333 337625597484987 displaystyle 3 uparrow uparrow 5 3 3 3 3 3 3 3 7625597484987 dd sylksnluksrsamtw pentation niyamody a b a a a b copies of a displaystyle begin matrix a uparrow uparrow uparrow b amp underbrace a uparrow uparrow a uparrow uparrow dots uparrow uparrow a amp b mbox copies of a end matrix dd sylksnluksrsitw hexation niyamody a b a a a b copies of a displaystyle begin matrix a uparrow uparrow uparrow uparrow b amp underbrace a uparrow uparrow uparrow a uparrow uparrow uparrow dots uparrow uparrow uparrow a amp b mbox copies of a end matrix dd aelaniyamechnniiperuxy nnkhux a b a a a a a n n 1 n 1 n 1 b copies of a displaystyle begin matrix a underbrace uparrow uparrow dots uparrow b a underbrace uparrow dots uparrow a underbrace uparrow dots uparrow a dots a underbrace uparrow dots uparrow a quad n qquad underbrace quad n 1 quad n 1 qquad quad n 1 qquad qquad quad b mbox copies of a end matrix dd echn 3 2 3 3 333 327 7625597484987 displaystyle 3 uparrow uparrow uparrow 2 3 uparrow uparrow 3 3 3 3 3 27 7 625 597 484 987 dd 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 copies of 3 3 3 3 7625597484987 copies of 3 displaystyle begin matrix 3 uparrow uparrow uparrow 3 3 uparrow uparrow 3 uparrow uparrow 3 3 uparrow uparrow 3 uparrow 3 uparrow 3 amp underbrace 3 uparrow 3 uparrow dots uparrow 3 amp 3 uparrow 3 uparrow 3 mbox copies of 3 end matrix begin matrix amp underbrace 3 uparrow 3 uparrow dots uparrow 3 amp 7 625 597 484 987 mbox copies of 3 end matrix dd

วันที่เผยแพร่: มิถุนายน 28, 2024, 04:41 am

สูงสุด