สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) เปรียบได้กับการเปลี่ยนเครื่องหมายบนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนนั้นให้เป็นตรงข้าม เช่น กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a + ib ดังนั้นสังยุคของ z คือ
z = a − ib (เมื่อ a กับ b แทนจำนวนจริง)

แผนภาพแสดงตำแหน่งของ z และ z บนระนาบจำนวนเชิงซ้อน

การบ่งบอกว่าจำนวนเชิงซ้อนใดเป็นสังยุค ให้เขียนขีดเส้นตรงไว้เหนือจำนวนเชิงซ้อน หรือใส่เครื่องหมายดอกจัน (*) ไว้ที่มุมขวาบน เช่น z* แต่ในที่นี้จะใช้ขีดเพื่อไม่ให้สับสนกับสัญลักษณ์ของการสลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์ ดังตัวอย่าง

• (3 − 2i) = 3 + 2i
• 7 = 7 (สังยุคของจำนวนจริงได้ค่าเดิมเสมอ)
• 5i = −5i (สังยุคของจำนวนจินตภาพได้เครื่องหมายตรงข้าม)

แนวความคิดอีกอย่างหนึ่งคือการให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นพิกัดอยู่บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยให้แกน x เป็นส่วนจริงและแกน y เป็นสัมประสิทธิ์ของ i (ส่วนจินตภาพ) ในแผนภาพทางขวามือ พิกัดของจำนวนเชิงซ้อนสังยุคเปรียบเหมือนภาพสะท้อนที่อยู่บนแกน x

คุณสมบัติ

สังยุคมีคุณสมบัติต่างๆ บนทุกจำนวนเชิงซ้อน z และ w เว้นแต่จะกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมไว้ ดังนี้

${\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!}$

${\displaystyle {\overline {(z-w)}}={\overline {z}}-{\overline {w}}\!}$

${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!}$

${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}$ เมื่อ w ไม่เท่ากับศูนย์

${\displaystyle {\overline {z}}=z\!}$ ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนจริง

${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}}$

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$ เมื่อ z ไม่เท่ากับศูนย์ สูตรนี้เป็นวิธีการหนึ่งสำหรับคำนวณหาอินเวิร์สของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่บนพิกัดคาร์ทีเซียน

${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\,\!}$

${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}\,\!}$ เมื่อ z ไม่เท่ากับศูนย์

สำหรับฟังก์ชัน ${\displaystyle \phi \,}$ ที่เป็น (holomorphic function) และ ${\displaystyle \phi (z)\,}$ มีการนิยามไว้แล้ว จะได้

${\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}\,\!}$