คู่อันดับ

สำหรับคู่อันดับนั้น อันดับมีความสำคัญ นั่นคือคู่อันดับ (a, b) แตกต่างจากคู่อันดับ (b, a) ยกเว้นกรณีที่ a = b ลักษณะนี้ไม่เหมือนกับคู่ไม่อันดับ ซึ่งคู่ไม่อันดับ {a, b} เท่ากับคู่ไม่อันดับ {b, a}

คู่อันดับยังอาจมองเป็น ทูเพิล, เวกเตอร์ 2 มิติ หรือ ลำดับความยาว 2 ก็ได้ เนื่องจากคู่อันดับสามารถมีสมาชิกเป็นใด ๆ ก็ตาม สมาชิกของคู่อันดับก็อาจจะเป็นคู่อันดับด้วยเช่นกัน ทำให้สามารถนิยาม n สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดได้ ตัวอย่างเช่น สามสิ่งอันดับ (a,b,c) สามารถนิยามโดย (a, (b,c)) หรือก็คือการนำคู่อันดับซ้อนกันไปเรื่อยๆ

ผลคูณคาร์ทีเซียน และ (ซึ่งรวมถึงฟังก์ชัน) สามารถนิยามด้วยคู่อันดับได้ด้วยเช่นเดียวกัน

หลักโดยทั่วไป

กำหนดคู่อันดับ ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ และ ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ เป็นคู่อันดับใด ๆ คุณสมบัติของคู่อันดับคือ

${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})}$ ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ และ ${\displaystyle b_{1}=b_{2}.\!}$

เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต X และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต Y เรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของ X และ Y หรืออาจเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า X×Y ซึ่งจากเซต X ไปเซต Y ใด ๆ จะเป็นเซตย่อยของ X×Y

ในกรณีที่วงเล็บได้นำมาใช้เพื่อจุดประสงค์อื่นแล้ว เช่นใช้แทนบนเส้นจำนวน ก็อาจใช้สัญลักษณ์วงเล็บ ${\displaystyle \left\langle a,b\right\rangle }$ แทน ${\displaystyle (a,b)}$ ตามปกติได้

การนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซต

เนื่องจากทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่าเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็จะต้องสามารถนิยามภายใต้เซตได้ รวมถึงคู่อันดับด้วย โดยได้มีนิยามหลากหลายรูปแบบในการนิยามคู่อันดับขึ้นมาจากเซต

นิยามของ Wiener

ได้เสนอนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซตเป็นคนแรกในปี 1914

${\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.}$

เขายังสังเกตว่าด้วยนิยามนี้สามารถนำไปใช้กับการนิยามให้อยู่ในรูปของเซตได้อีกด้วย

Wiener ใช้ {{b}} แทนที่ {b} เพื่อให้นิยามนี้เข้ากันได้กับ ซึ่งมีข้อกำหนดว่าสมาชิกทุกตัวในคลาสต้องเป็น "ประเภท" เดียวกัน หรือนั่นก็คือเพื่อทำให้ ${\displaystyle \{\{b\}\}}$ เป็นประเภทเดียวกันกับ ${\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}$

นิยามของ Hausdorff

ในเวลาใกล้เคียงกันกับการเสนอนิยามคู่อันดับของ Wiener ในปี 1914 ก็ได้นำเสนอนิยามด้วยเช่นกัน

${\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}$

โดยที่ 1 และ 2 ต้องแตกต่างจาก a และ b

นิยามของ Kuratowski

ในปี 1921 ได้เสนอนิยามคู่อันดับซึ่งปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันอย่างแพร่หลาย ว่า

${\displaystyle (a,\ b)_{K}\ :=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}$

มีการใช้นิยามนี้แม้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังเหมือนกัน

${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}$

เมื่อกำหนดคู่อันดับ p การทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหน้าของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

${\displaystyle \forall {Y}{\in }{p}:{x}{\in }{Y}.}$

ในกรณีที่ต้องการทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหลังของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

${\displaystyle (\exists {Y}{\in }{p}:{x}{\in }{Y})\land (\forall {Y_{1},Y_{2}}{\in }{p}:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow ({x}{\notin }{Y_{1}}\lor {x}{\notin }{Y_{2}})).}$

สังเกตว่าเงื่อนไขนี้สามารถใช้ได้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังเหมือนกันด้วย เพราะประพจน์เชื่อม (conjunct) ${\displaystyle (\forall {Y_{1},Y_{2}}{\in }{p}:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow ({x}{\notin }{Y_{1}}\lor {x}{\notin }{Y_{2}}))}$ จะเป็นจริงเสมอจากการที่ Y₁ ≠ Y₂ ให้ค่าความจริงเป็นเท็จ ส่งผลให้เหลือแต่การทดสอบว่ามีสมาชิกตัวหลังในสมาชิกของเซตหรือไม่ หากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหน้าออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก

${\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p}$

และหากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหลังออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก

${\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \{x\in \bigcup p\mid \bigcup p\not =\bigcap p\rightarrow x\notin \bigcap p\}}$

อ้างอิง

1. Quine has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair is a paradigm for the clarification of philosophical ideas (see "Word and Object", section 53). The general notion of such definitions or implementations are discussed in Thomas Forster "Reasoning about theoretical entities".
2. Wiener's paper "A Simplification of the logic of relations" is reprinted, together with a valuable commentary on pages 224ff in van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, (pbk.). van Heijenoort states the simplification this way: "By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes".
3. cf introduction to Wiener's paper in van Heijenoort 1967:224
4. cf introduction to Wiener's paper in van Heijenoort 1967:224. van Heijenoort observes that the resulting set that represents the ordered pair "has a type higher by 2 than the elements (when they are of the same type)"; he offers references that show how, under certain circumstances, the type can be reduced to 1 or 0.