รากฐานของคณิตศาสตร์

รากฐานของคณิตศาสตร์ (อังกฤษ: Foundation of mathematics) เป็นการศึกษาพื้นฐานสำคัญที่คณิตศาสตร์จำเป็นต้องใช้ ผ่านมุมมองทางปรัชญาและทางตรรกะ คณิตศาสตร์อาจถือได้ว่ามีส่วนสำคัญสองส่วนคือ การให้นิยาม และการพิสูจน์ ซึ่งทั้งสองส่วนต้องอาศัยเป็นพื้นฐาน ในการศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์เราศึกษาว่าระบบสัจพจน์ที่ใช้นั้นหรือหรือไม่ หากระบบสัจพจน์ที่ใช้สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสอง และเราสามารถดำเนินการคณิตศาสตร์ทั่วไปในระบบสัจพจน์นั้นได้ ระบบสัจพจน์นั้นก็ถือเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ที่ดี

ในมุมมองเชิงปรัชญา รากฐานของคณิตศาสตร์ค้นหาทฤษฎีหรือข้อสมมติทางปรัชญาที่ใช้อธิบายธรรมชาติของคณิตศาสตร์ ในมุมมองนี้ ความแตกต่างระหว่างรากฐานของคณิตศาสตร์และค่อนข้างคลุมเครือ การค้นหารากฐานของคณิตศาสตร์เป็นคำถามหลักของปรัชญาคณิตศาสตร์ ยิ่งไปกว่านั้น ธรรมชาติของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมกลายเป็นประเด็นสำคัญในปรัชญาของคณิตศาสตร์ การศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่จะศึกษารากฐานของทุกหัวข้อในคณิตศาสตร์ เราสนใจเพียงแต่แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์เท่านั้น ตลอดจนความเชื่อมโยงระหว่างแนวคิดพื้นฐานเหล่านั้น

คณิตศาสตร์มีบทบาทพิเศษในความคิดทางวิทยาศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ เพราะคณิตศาสตร์เป็นต้นแบบของการค้นหาความจริงอย่างมีเหตุผลและรัดกุม คณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือสำหรับวิทยาศาสตร์สาขาอื่น ๆ หรือแม้แต่เป็นพื้นฐานสำหรับวิทยาศาสตร์สาขานั้น (โดยเฉพาะฟิสิกส์) เมื่อคณิตศาสตร์พัฒนาไปในรูปแบบที่เป็นนามธรรมมากขึ้นในศตวรรษที่ 19 ส่งผลให้เกิดปัญหาและปฏิทรรศน์ใหม่ ๆ ตามมา ปัญหาและปฏิทรรศน์ที่เกิดขึ้น กระตุ้นนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาให้ค้นหาความจริงทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบมากขึ้น ตลอดจนพยายามรวมสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันเป็นอันหนึ่งอันเดียว

การค้นหารากฐานของคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบเริ่มต้นขึ้นเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 ทำให้เกิดสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์คือ คณิตตรรกศาสตร์ ในภายหลังคณิตตรรกศาสตร์จะมีส่วนเชื่อมโยงอย่างมากกับวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ตกอยู่ในวิกฤตการณ์หลายครั้งเพราะผลลัพธ์จำนวนมากที่พิสูจน์ได้จากรากฐานของคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะขัดแย้งในตัวมันเอง การค้นพบเหล่านั้นปัจจุบันกลายเป็นความรู้พื้นฐาน และนำไปสู่สาขาย่อยของคณิตศาสตร์จำนวนมาก เช่น ทฤษฎีเซต ยังมีการศึกษาหัวข้อเหล่านี้จนถึงปัจจุบัน

วิกฤตการณ์ทางรากฐานของคณิตศาสตร์

วิกฤตการณ์ทางรากฐานของคณิตศาสตร์ (มาจากภาษาเยอรมัน : Grundlagenkrise der Mathematik) เป็นชื่อในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ที่ใช้เรียกการค้นหารากฐานที่เหมาะสมของคณิตศาสตร์

การแก้ไขวิกฤต

กลุ่มซึ่งเป็นกลุ่มรวมนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ได้เริ่มจัดพิมพ์หนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับสาขาต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ โดยมีจุดมุ่งหมายเพื่อวางรากฐานของคณิตศาสตร์สาขาเหล่านั้นบนรากฐานทางทฤษฎีเซตที่เพิ่งค้นพบใหม่

ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ได้ทำงานจากระบบสัจพจน์โดยตรง แต่ถ้าหากต้องใช้ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้ระบบสัจพจน์ และไม่สงสัยว่าระบบสัจพจน์ดังกล่าวจะจริงหรือไม่ ในคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ความไม่บริบูรณ์และปฏิทรรศน์ของทฤษฎีรูปนัยไม่มีผลต่อหัวข้อที่นักคณิตศาสตร์ศึกษา แต่ในบางสาขาของคณิตศาสตร์บางสาขาที่มีความเสี่ยงจะสร้างทฤษฎีที่ขัดแย้งกันเอง (เช่น ตรรกวิทยาและ) อาจจะต้องใช้ความระมัดระวังเพิ่มเติม

ความก้าวหน้าทางในกลางศตวรรษที่ 20 ชี้ให้เห็นว่าทฤษฎีเซตอื่น ๆ ที่ยอมให้มีมากกว่าที่ ZFC ยอมรับก็เป็นประโยชน์ในการศึกษาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างทฤษฎีเซตที่มียอมรับชั้นมากกว่า ZFC เช่น หรือ แม้ว่าในหลาย ๆ กรณี การใช้สัจพจน์คาร์ดินัลขนาดใหญ่หรือจักรวาลโกรเธนดีกนั้นจะไม่จำเป็นก็ตามที

เป้าหมายอย่างหนึ่งของ คือการค้นหาว่ามี "คณิตศาสตร์ด้านหลัก" ด้านใดบ้าง ที่อาจทำให้เกิดวิกฤติการณ์ทางรากฐานขึ้นอีกครั้ง

ดูเพิ่ม

• คณิตตรรกศาสตร์
• ญาณวิทยา
• ยุคลิด
• ปัญหาของฮิลเบิร์ต

อ้างอิง

1. Joachim Lambek (2007), "Foundations of mathematics", Encyc. Britannica
2. Mayberry, John P. (2000). The foundations of mathematics in the theory of sets. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN . OCLC 852898494.
3. "foundation of mathematics in nLab". ncatlab.org.
4. Leon Horsten (2007, rev. 2012), "Philosophy of Mathematics" SEP
5. Detlefsen, Michael (2016), "Mathematics, foundations of", Routledge Encyclopedia of Philosophy (1 ed.), Routledge, doi:10.4324/9780415249126-y089-1, ISBN , สืบค้นเมื่อ 2021-03-06