ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส (Apollonius' Theorem) เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต ที่เกี่ยวข้องกับความยาวของเส้นมัธยฐานและความยาวด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งกล่าวว่า "ผลรวมค่ากำลังสองของด้านสองด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ สองเท่าของผลบวกของครึ่งหนึ่งของความยาวด้านที่สามยกกำลังสองกับความยาวของเส้นมัธยฐานยกกำลังสอง"
กำหนดให้ รูปสามเหลี่ยม เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้า เป็นเส้นมัธยฐาน แล้ว
ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต (Stewart's Theorem) ในกรณีที่สามเหลี่ยม เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ แล้วเส้นมัธยฐาน จะตั้งฉากกับ ในกรณีดังกล่าวทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียสจะกลายเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส
สมมูลกับทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส ผ่านความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสองส่วน
ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม Apollonius of Perga ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ
พิสูจน์ทฤษฎีบท
ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต และ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ (ดู) ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์โดยใช้กฎของโคไซน์
ให้สามเหลี่ยมมีด้าน โดยมีเส้นมัธยฐาน ลากไปด้าน ให้ คือความยาวส่วนของด้าน ที่ถูกแบ่งครึ่งโดยเส้นมัธยฐาน ดังนั้น คือครึ่งหนึ่งของ ให้มุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้าน และเส้นมัธยฐาน เป็น และ ตามลำดับ โดยที่ อยู่ในฝั่งที่มีด้าน และ อยู่ในฝั่งที่มีด้าน ดังนั้น มีค่าเท่ากับ 180 องศา และ
จากกฎของโคไซน์จะได้
นำสองสมการมาบวกกัน จะได้
อ้างอิง
- Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20.
wikipedia, แบบไทย, วิกิพีเดีย, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด, บทความ, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม, มือถือ, โทรศัพท์, Android, iOS, Apple, โทรศัพท์โมบิล, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, Sonya, MI, PC, พีซี, web, เว็บ, คอมพิวเตอร์
thvsdibthkhxngxaphxloleniys Apollonius Theorem epnthvsdibththangerkhakhnit thiekiywkhxngkbkhwamyawkhxngesnmthythanaelakhwamyawdankhangkhxngrupsamehliym sungklawwa phlrwmkhakalngsxngkhxngdansxngdanid khxngrupsamehliym ethakb sxngethakhxngphlbwkkhxngkhrunghnungkhxngkhwamyawdanthisamykkalngsxngkbkhwamyawkhxngesnmthythanykkalngsxng phunthisiekhiywrwmkbphunthisinaengin phunthisiaedng kahndih rupsamehliym ABC displaystyle ABC epnrupsamehliymid tha AD displaystyle AD epnesnmthythan aelw AB 2 AC 2 2 AD 2 BD 2 displaystyle AB 2 AC 2 2 left AD 2 BD 2 right thvsdibthniepnkrniphiesskhxngthvsdibthkhxngscwt Stewart s Theorem inkrnithisamehliym ABC displaystyle ABC epnsamehliymhnacwthi AB AC displaystyle AB AC aelwesnmthythan AD displaystyle AD catngchakkb BC displaystyle BC inkrnidngklawthvsdibthkhxngxaphxloleniyscaklayepnthvsdibthphithaokrs smmulkbthvsdibthkhxngxaphxloleniys phankhwamcringthiwaesnthaeyngmumkhxngrupsiehliymdankhnanaebngxxkepnsxngswn thvsdibthniidrbkartngchuxtam Apollonius of Perga sungepnnkkhnitsastrchawkrikobrankarphisucnthvsdibthkhxngxaphxloleniys Apollonius Theorem thvsdibthphithaokrs phunthisiekhiyw phunthisiaedngphisucnthvsdibththvsdibthnisamarthphisucnidwaepnkrniphiesskhxngthvsdibthkhxngscwt aela samarthphisucnidodyichewketxr du txipniepnkhxphisucnodyichkdkhxngokhisn ihsamehliymmidan a b c displaystyle a b c odymiesnmthythan d displaystyle d lakipdan a displaystyle a ih m displaystyle m khuxkhwamyawswnkhxngdan a displaystyle a thithukaebngkhrungodyesnmthythan dngnn m displaystyle m khuxkhrunghnungkhxng a displaystyle a ihmumthiekidkhunrahwangdan a displaystyle a aelaesnmthythan d displaystyle d epn 8 displaystyle theta aela 8 displaystyle theta prime tamladb odythi 8 displaystyle theta xyuinfngthimidan b displaystyle b aela 8 displaystyle theta prime xyuinfngthimidan c displaystyle c dngnn 8 8 displaystyle theta theta mikhaethakb 180 xngsa aela cos 8 cos 8 displaystyle cos theta prime cos theta cakkdkhxngokhisncaid b2 m2 d2 2dmcos 8 displaystyle b 2 m 2 d 2 2dm cos theta c2 m2 d2 2dmcos 8 displaystyle c 2 m 2 d 2 2dm cos theta m2 d2 2dmcos 8 displaystyle m 2 d 2 2dm cos theta nasxngsmkarmabwkkn caid b2 c2 2 m2 d2 displaystyle b 2 c 2 2 m 2 d 2 xangxingGodfrey Charles Siddons Arthur Warry 1908 Modern Geometry University Press p 20