สมการเลียปูนอฟ

ในทฤษฎีระบบควบคุม

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง (อังกฤษ: discrete Lyapunov equation) คือสมการในรูปแบบ

${\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0}$

โดยที ${\displaystyle Q}$ คือ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และ ${\displaystyle A^{H}}$ คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของ ${\displaystyle A}$

ในขณะที่ สมการเลียปูนอฟต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuous Lyapunov equation) คือสมการในรูปแบบ

${\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0}$.

สมการเลียปูนอฟมักถูกใช้ในหลายสาขาของทฤษฎีระบบควบคุมเช่น ใน และการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control) โดยชื่อของสมการนี้ตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918)

การประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์เสถียรภาพ

ในที่นี้เรากำหนดให้ ${\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ และ ${\displaystyle P}$ และ ${\displaystyle Q}$ เป็นเมทริกซ์สมมาตร สัญลักษณ์ ${\displaystyle P>0}$ หมายถือว่า ${\displaystyle P}$ คือ (Positive-definite matrix)

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่อง ถ้ามี ${\displaystyle P>0}$ และ ${\displaystyle Q>0}$ ที่สามารถทำให้ ${\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0}$ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น (linear system) ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$ เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable) โดยที่สมการกำลังสอง ${\displaystyle V(z)=z^{T}Pz}$ นั้นจะนิยามเป็น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) ซึ่งใช้ในการตวรจสอบเสถียรภาพของระบบ

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง ถ้ามี ${\displaystyle P>0}$ และ ${\displaystyle Q>0}$ ที่สามารถทำให้ ${\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0}$ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น ${\displaystyle x(t+1)=Ax(t)}$ เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ และ ${\displaystyle z^{T}Pz}$ นั้นคือฟังก์ชันเลียปูนอฟ

แง่มุมในการคำนวณ

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่องสามารถใช้ ส่วนเติมเต็มชูร์ (Schur complement) ในการคำนวณได้ดังขั้นตอนวิธีที่แสดงข้างล่างนี้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X^{-1}&A\\A^{H}&X-Q\end{bmatrix}}=0}$

ซึ่งสมมูลกับ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X&XA\\A^{H}X&X-Q\end{bmatrix}}=0}$.

นอกจากนี้ยังมีซอฟต์แวร์เฉพาะทางให้เลือกใช้ในการคำนวณสมการเลียปูนอฟ โดยในกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง วิธีการของชูร์โดยกิตากาวา (Schur method of Kitagawa) มักเป็นที่นิยม ในขณะที่กรณีสมการเลียปูนอฟต่อเนื่องวิธีการของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ สามารถใช้ได้เช่นกัน

ผลตอบเชิงวิเคราะห์

เราสามารถหาผลตอบเชิงวิเคราะห์ (analytic solution) สำหรับกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง โดนนิยามให้ ${\displaystyle {\text{vec}}(A)}$ เป็นตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ของเมทริกซ์${\displaystyle A}$ และนิยาม ${\displaystyle {\text{kron}}(A,B)}$เป็น (Kronecker product) ระหว่าง ${\displaystyle A}$ และ ${\displaystyle B}$ และโดยการใช้ผลจาก ${\displaystyle {\text{vec}}(ABC)={\text{kron}}(C^{T},A){\text{vec}}(B)}$, เราสามารถใช้ ${\displaystyle (I-{\text{kron}}(A,A)){\text{vec}}(X)={\text{vec}}(Q)}$ เมื่อ ${\displaystyle I}$ คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ conformable จากนั้นเราสามารถแก้สมการสำหรับหาค่าของ ${\displaystyle {\text{vec}}(X)}$ โดยการหาเมทริกซ์ผกผันหรือการแก้สมการเชิงเส้น โดยในการได้มาซึ่งค่า ${\displaystyle X}$ ต้องมีการปรับขนาดของ ${\displaystyle {\text{vec}}(X)}$ อย่างเหมาะสมด้วย

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันเลียปูนอฟ
• สมการซิลเวสเตอร์
• (Algebraic Riccati equation)
• ทฤษฎีระบบควบคุม

อ้างอิง

1. Kitagawa, An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S, International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977).
2. R. H. Bartels and G. W. Stewart, Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.
3. J. Hamilton (1994), Time Series Analysis, equations 10.2.13 and 10.2.18. Princeton University Press.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Online solver for arbitrary sized matrices.^[]