วิถีโคจรไฮเพอร์โบลา

ในหรือกลศาสตร์ท้องฟ้า วิถีโคจรไฮเพอร์โบลา (hyperbolic trajectory) คือ วงโคจรการเคลื่อนที่ภายใต้ความโน้มถ่วงของวัตถุที่มีความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรมากกว่า 1 โดยปกติแล้ว วัตถุที่เคลื่อนที่บนวงโคจรนี้จะเคลื่อนที่ห่างจากวัตถุท้องฟ้าศูนย์กลางอย่างไปไม่สิ้นสุด

เส้นสีน้ำเงินคือวิถีโคจรไฮเพอร์โบลา จุด F คือจุดโฟกัส และเป็นตำแหน่งของดาวศูนย์กลาง

วิถีโคจรแบบนี้ก็เป็นเช่นเดียวกับวิถีโคจรพาราโบลา อย่างไรก็ตาม ของวัตถุบนวิถีโคจรไฮเพอร์โบลามีค่ามากกว่า 0 (ในขณะที่วิถีโคจรพาราโบลาจะเป็น 0 พอดี) นั่นคือวัตถุจะมีพลังงานจลน์แม้ที่ระยะอนันต์ ต่างจากวิถีโคจรพาราโบลาที่จะสูญเสียพลังงานจลน์ที่ระยะอนันต์

สมการ

เส้นโค้งวิถีวงโคจรที่แสดงเป็นระบบพิกัดเชิงขั้ว (${\displaystyle r,\phi }$) ของระยะห่าง ${\displaystyle r}$ และ มุมกวาดจริง ${\displaystyle \phi }$ โดยมีจุดโฟกัสเป็นจุดกำเนิดแสดงได้เป็น

${\displaystyle r={\frac {L}{1+e\cos \phi }}}$

โดย ${\displaystyle e}$ คือความเยื้องศูนย์กลาง ส่วน ${\displaystyle L}$ คือเลตัสเรกตัม สำหรับกรณีของไฮเพอร์โบลานั้นจะมีค่า ${\displaystyle e>1}$ ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ที่ ${\displaystyle \cos {\phi }=-1/e}$ หรือ ${\displaystyle \tan {\phi }=\pm {\sqrt {e^{2}-1}}}$ ดังนั้นที่ ${\displaystyle \phi \rightarrow \pm \arctan {\sqrt {e^{2}-1}}}$ ระยะห่างจากจุดโฟกัสจะกลายเป็น ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

กึ่งแกนเอกของวิถีโคจรไฮเพอร์โบลาจะนิยามในลักษณะทำนองเดียวกับในได้เป็น

${\displaystyle a={\frac {L}{1-e^{2}}}}$

โดยในที่นี้ ${\displaystyle a<0}$

หรืออาจเลือกเปลี่ยนเครื่องหมาย ${\displaystyle a}$ เป็นบวก แล้วเขียนใหม่ได้เป็น

${\displaystyle a=\left|{\frac {L}{1-e^{2}}}\right|={\frac {L}{e^{2}-1}}}$

อย่างไรก็ตาม ในคำอธิบายต่อจากนี้ไปจะใช้นิยามแบบแรกเป็นหลัก

ระยะห่างจุดใกล้ที่สุดเมื่อมุมกวาดจริง ${\displaystyle \phi =0}$ จะเป็น

${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {L}{1+e}}=|a|(e-1)=a(1-e)}$

ความเร็วที่ระยะไกลเป็นอนันต์

ความเร็วที่ระยะไกลออกไปเป็นอนันต์จากศูนย์กลางของวัตถุในวิถีโคจรไฮเพอร์โบลา ${\displaystyle v_{\infty }}$ หาได้จากกฎการอนุรักษ์พลังงานเป็น

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}}$

โดยในที่นี้

• ${\displaystyle \mu }$ คือค่าคงตัวความโน้มถ่วงของวัตถุศูนย์กลาง
• ${\displaystyle a}$ คือกึ่งแกนเอกของวิถีโคจรไฮเพอร์โบลา

${\displaystyle v_{\infty }}$ มีความสัมพันธ์กับค่า ${\displaystyle \epsilon }$ ดังนี้

${\displaystyle 2\epsilon =v_{\infty }^{2}}$

ความเร็วในวิถีโคจร

ในวิถีโคจรไฮเพอร์โบลาอัตราเร็วในวงโคจร ${\displaystyle v}$ คำนวณได้เป็น:

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

โดยในที่นี้

• ${\displaystyle \mu }$ คือค่าคงตัวความโน้มถ่วงของวัตถุศูนย์กลาง
• ${\displaystyle r}$ คือระยะห่างจากศูนย์กลางวัตถุศูนย์กลาง
• ${\displaystyle a}$ คือกึ่งแกนเอกของวิถีโคจรไฮเพอร์โบลา

อ้างอิง

1. S.O., Kepler; Saraiva, Maria de Fátima (2014). Astronomia e Astrofísica. Porto Alegre: Department of Astronomy - Institute of Physics of Federal University of Rio Grande do Sul. pp. 97–106.