เซตวีตาลี

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะทฤษฎีเมเชอร์ เซตวีตาลี (อังกฤษ: Vitali set) เป็นตัวอย่างของเซตของจำนวนจริงที่ได้ เซตดังกล่าวถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย ในปี ค.ศ. 1905ทฤษฎีบทวีตาลีเป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่ามีเซตดังกล่าวอยู่จริง เซตวีตาลีมีมากมายเป็นจำนวน และการมีอยู่ของเซตดังกล่าวต้องอาศัยสัจพจน์ของการเลือก ในปี ค.ศ. 1970 ได้สร้างโมเดลของที่ไม่มีสัจพจน์การเลือก และทุกสับเซตของเซตของจำนวนจริงหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ โดยอาศัยการมีอยู่ของ เรียกว่า โมเดลของโซโลเวย์

การสร้างและสมบัติการหาเมเชอร์ไม่ได้

การเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะ

เซตวิตาลีคือเซตย่อยของช่วงปิด ${\displaystyle [0,1]}$ ซึ่งมีสมบัติว่า สำหรับจำนวนจริง ${\displaystyle r}$ ใด ๆ จะมีจำนวนจริง ${\displaystyle v\in V}$ เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ ${\displaystyle v-r}$ เป็นจำนวนตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ เป็นของเซตของจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ภายใต้การบวก ดังนั้นจึงหา ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ได้ ซึ่งกรุปผลหารดังกล่าวมีสมาชิกเป็นของจำนวนตรรกยะในรูป ${\displaystyle \mathbb {Q} +r}$ สำหรับบาง ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

สมาชิกในกรุป ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ เป็นเซตที่แบ่งกั้น ${\displaystyle \mathbb {R} }$ และแต่ละสมาชิกใน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ดังนั้นอินเตอร์เซคชั่นของสมาชิกใน ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ และเซต ${\displaystyle [0,1]}$ไม่เป็นเซตว่าง โดนอาศัยสัจพจน์ของการเลือก เราสามารถหาสมาชิกมาหนึ่งตัวจากแต่ละอินเตอร์เซคชั่นนั้นมารวมกันได้เป็นเซตเซตหนึ่ง เซตใด ๆ ที่สร้างมาและมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า เซตวีตาลี

เซตวีตาลีทุกเซตมีขนาดอนันต์นับไม่ได้ และ ${\displaystyle v-u}$ เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับทุก ${\displaystyle u,v\in V}$ที่ซึ่ง ${\displaystyle u\neq v}$

การหาเมเชอร์ไม่ได้

เซตวีตาลี ${\displaystyle V}$ ใด ๆ หาเมเชอร์ไม่ได้

พิสูจน์ —

การพิสูจน์ใช้การพิสูจน์โดยหาข้อขัดแย้ง ให้ ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dotsc }$ เป็นการเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะในช่วง ${\displaystyle [-1,1]}$ จากการสร้างจะเห็นว่า เซต ${\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}}$ ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเซต ${\displaystyle V}$ เป็นเซตที่ไม่มีส่วนร่วมกันทุกคู่เมื่อ ${\displaystyle k=1,2,\dotsc }$ และยิ่งไปกว่านั้น

${\displaystyle [0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2]}$

เพื่อพิสูจน์การเป็นสับเซตตอนแรก พิจารณาจำนวนจริง ${\displaystyle r}$ใด ๆ ในช่วง ${\displaystyle [0,1]}$ และให้ ${\displaystyle v\in V}$ เป็นตัวแทนของชั้นสมมูล ${\displaystyle [r]}$ แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle r-v=q_{i}}$ สำหรับบางจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle q_{i}\in [-1,1]}$ จึงทำให้ ${\displaystyle r\in V_{i}}$

หาเมเชอร์เลอเบกของเซตข้างต้น:

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3}$

เนื่องจากเมเชอร์เลอเบกมีค่าเท่าเดิมภายใต้การเลื่อนขนาน ส่งผลให้ ${\displaystyle \lambda (V_{k})=\lambda (V)}$ และได้ว่า

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3}$

ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง เพราะผลรวมอนันต์ของ ${\displaystyle \lambda (V)}$ เป็นได้สองค่าคือ 0 หรืออนันต์เท่านั้น ทั้งนี้เป็นเพราะว่า ${\displaystyle \lambda (V)}$ มีได้สองค่าคือเป็นศูนย์หรือจำนวนจริงบวกสักตัว ดังนั้น ${\displaystyle V}$ หาเมเชอร์ไม่ได้

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

1. (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani.
2. (1970), "A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable", , Second Series, 92: 1–56, doi:10.2307/1970696, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970696,  0265151

บรรณานุกรม

• Herrlich, Horst (2006). Axiom of Choice. Springer. p. 120.
• (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani.