อสมการของมาร์คอฟ

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของมาร์คอฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ของความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่มีค่าบวกจะมีมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริงบวกคงที่หนึ่งๆ ชื่อของอสมการตั้งตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียชื่อ

อสมการของมาร์คอฟมีใจความดังต่อไปนี้: ให้ ${\displaystyle X\,}$ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าไม่เป็นลบและ ${\displaystyle t\,}$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์ แล้ว

${\displaystyle \Pr[X\geq t]\leq {\frac {\mathrm {E} [X]}{t}}}$

เห็นได้ว่า อสมการของมาร์คอฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นกับค่าคาดหมาย เนื่องจากตัวอสมการเองไม่ได้กำหนดว่าตัวแปรสุ่มต้องมีสมบัติพิเศษประการใดเลย ขอบเขตบนที่ได้จากอสมการของมาร์คอฟมักจะมีค่าสูงกว่าความเป็นจริงมาก อย่างไรก็ดีเราสามารถใช้อสมการของมาร์คอฟพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ให้ขอบเขตบนที่แน่นขึ้นได้ เช่น อสมการของเชบิเชฟ และขอบเขตเชอร์นอฟ

การพิสูจน์

กำหนดฟังก์ชัน ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle f(x)=1}$ เมื่อ ${\displaystyle x\geq t}$ มิฉะนั้น ${\displaystyle f(x)=0}$ เราได้ว่า

${\displaystyle \mathrm {E} [f(X)]=\Pr[X\geq t]}$

เนื่องจาก ${\displaystyle f(x)\leq x/t}$ สำหรับทุกๆ จำนวนจริง ${\displaystyle x}$ เราได้ว่า

${\displaystyle \Pr[X\geq t]\leq \mathrm {E} [X/t]={\frac {\mathrm {E} [X]}{t}}}$

ตามต้องการ

อีกบทพิสูจน์หนึ่ง

ในกรณีที่ตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle X}$ เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และมีค่าเป็นจำนวนเต็ม บทพิสูจน์ที่ใช้การคำนวณอย่างง่ายด้านล่างอาจเข้าใจได้ง่ายกว่า

จากนิยามของค่าคาดหมาย และเงื่อนไขที่ว่าตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle X}$ มีค่าไม่เป็นลบ เราได้ว่า

${\displaystyle \mathrm {E} [X]=\sum _{i=0}^{\infty }i\cdot \Pr[X=i]}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{t-1}i\cdot \Pr[X=i]+\sum _{i=t}^{\infty }i\cdot \Pr[X=i]}$     (กระจายเทอม โดยแยกกรณี ${\displaystyle i<t}$ กับ ${\displaystyle i\geq t}$)

${\displaystyle \geq \sum _{i=t}^{\infty }i\cdot \Pr[X=i]}$     (ทิ้งเทอมหน้าซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์)

${\displaystyle \geq \sum _{i=t}^{\infty }t\cdot \Pr[X=i]}$     (เนื่องจาก ${\displaystyle i\geq t}$)

${\displaystyle =t\cdot \left(\sum _{i=t}^{\infty }\cdot \Pr[X=i]\right)}$     (แยก ${\displaystyle t}$)

${\displaystyle =t\cdot \Pr[X\geq t]}$.     (เนื่องจากเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน)

นั่นคือเราได้ ${\displaystyle \Pr[X\geq t]\leq \mathrm {E} [X]/t}$ ตามต้องการ

รูปแบบอื่นของ อสมการของมาร์คอฟ

บางครั้งเราอาจพบเห็น การใช้อสมการของมาร์คอฟ ในรูปแบบอื่น ๆ เช่น

เมื่อ ${\displaystyle g(x)\uparrow ,g(x)\geq 0}$ คือ เป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นลบ และ มีค่าไม่ลดลงแล้ว

${\displaystyle \Pr[X\geq t]\leq {\frac {\mathrm {E} [g(X)]}{g(t)}}}$

ซึ่งในกรณีที่ ${\displaystyle g(x)=e^{tx}}$ จะนำไปสู่ ขอบเขตเชอร์นอฟ