การแจกแจงปรกติหลายตัวแปร

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร (อังกฤษ: multivariate normal distribution) เป็นการขยายวางนัยทั่วไปจากการแจกแจงแบบปรกติ (ตัวแปรเดียว) ไปเป็นหลายมิติ(หลายตัวแปร) เวกเตอร์สุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร คือ ทุกๆผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของส่วนประกอบของเวกเตอร์มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น Bivariate normal distribution Bivariate normal distribution with μ = [5,2] and Σ1,1 = 2, Σ1,2 = Σ2,1 Σ2,2 = 0.8.
สัญกรณ์:	${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\,\Sigma )}$
ตัวแปรเสริม:	μ ∈ R^k — Σ ∈ R^k×k — ()
:	x ∈ span(Σ) ⊆ R^k
pdf:	${\displaystyle ((2\pi )^{{\text{rank}}(\Sigma )}{\text{det}}^{*}(\Sigma ))^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}(x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu )}}$
:	(no analytic expression)
ค่าเฉลี่ย:	μ
ฐานนิยม:	μ
:	Σ
:	${\displaystyle \ln \!{\sqrt {(2\pi e)^{k}|\Sigma |}}}$
:	${\displaystyle \exp \!{\Big (}\mu 't+{\tfrac {1}{2}}t'\Sigma t{\Big )}}$
:	${\displaystyle \exp \!{\Big (}i\mu 't-{\tfrac {1}{2}}t'\Sigma t{\Big )}}$

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร มักใช้อธิบาย เซตของตัวแปรสุ่มหลายๆตัวที่มีความสัมพันธ์กัน โดยที่แต่ค่าของตัวแปรจะมีค่าเกาะกลุ่มอยู่ใกล้ๆกับค่ามัชฌิม

สัญลักษณ์เครื่องหมายและการใช้พารามิเตอร์

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร ของเวกเตอร์สุ่ม k มิติ (k-dimensional random vector) X = [X₁, X₂, …, X_k] สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle X\ \sim \ {\mathcal {N}}(\mu ,\,\Sigma ),}$

หรือสามารถระบุจำนวนมิติของตัวแปรได้ดังนี้

${\displaystyle X\ \sim \ {\mathcal {N}}_{k}(\mu ,\,\Sigma ).}$

โดยเวกเตอร์ค่ามัชฌิมที่มี k มิติ คือ

${\displaystyle \mu =[\operatorname {E} [X_{1}],\operatorname {E} [X_{2}],\ldots ,\operatorname {E} [Xk]]}$

และ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance matrix) ขนาด k x k คือ

${\displaystyle \Sigma =[\operatorname {Cov} [Xi,Xj]]_{i=1,2,\ldots ,k;j=1,2,\ldots ,k}}$

คำนิยาม

เวกเตอร์สุ่ม X = (X₁, …, X_k)′จะมีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปรได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขดังนี้:

• ทุกๆผลรวมเชิงเส้น Y = a₁X₁ + … + a_kX_k มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์ค่าคงที่ใดๆ a ∈ R^k, ตัวแปรสุ่ม Y = a′X จะมีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ
• เวกเตอร์สุ่ม Z (ขนาด ℓ มิติ) ที่สมาชิกของ Z เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติ, เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ), และ เมทริกซ์ A (ขนาด k×ℓ) มีอยู่จริง โดยที่ X = AZ + μ
• เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ) และ เมทริกซ์ Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น nonnegative-definite มีอยู่จริง โดยที่ characteristic function ของ X คือ

  ${\displaystyle \varphi _{X}(u)=\exp {\Big (}iu'\mu -{\tfrac {1}{2}}u'\Sigma u{\Big )}.}$

• ในกรณีที่ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว Σ ไม่อยู่ในภาวะเอกฐาน(nonsigular) จะมีเวกเตอร์ μ (ขนาด k) และ เมตริกซ์ Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น positive-definite อยู่จริง โดยที่ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) ของ X จะเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{k/2}|\Sigma |^{1/2}}}\exp \!{\Big (}{-{\tfrac {1}{2}}}(x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ){\Big )},}$ โดย |Σ| เป็น ดีเทอร์มิแนนต์ ของ Σ

บทความที่เกี่ยวข้อง

• การแจกแจงแบบปรกติ

อ้างอิง

1. Gut, Allan: An Intermediate Course in Probability, 2009, chapter 5