เอพ ไซคลอยด อ งกฤษ epicycloid ค อเส นโค งชน ดหน ง สร างข นโดยกำหนดจ ดจ ดหน งบนเส นรอบร ปวงกลมท เร ยกว า เอพ ไซเค ล epicy

เอพิไซคลอยด์ (อังกฤษ: epicycloid) คือเส้นโค้งชนิดหนึ่ง สร้างขึ้นโดยกำหนดจุดจุดหนึ่งบนเส้นรอบรูปวงกลมที่เรียกว่า เอพิไซเคิล (epicycle) แล้วกลิ้งรูปวงกลมนั้นไปบนขอบ ด้านนอก ของรูปวงกลมอีกรูปหนึ่งซึ่งอยู่กับที่ รอยที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของจุดอ้างอิงจะได้เส้นโค้งเอพิไซคลอยด์

เอพิไซคลอยด์ (เส้นสีแดง) ที่เกิดจากรูปวงกลม r = 1 กลิ้งไปบนขอบด้านนอกของรูปวงกลม R = 3

เส้นโค้งนี้จัดว่าเป็นชนิดหนึ่ง และเป็นกรณีพิเศษของเอพิโทรคอยด์ (epitrochoid) (evolute) และ (involute) ของเส้นโค้งนี้จะมีรูปร่างกับเส้นโค้งเดิม

สมการ

รูปร่างของเอพิไซคลอยด์จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับรัศมีของรูปวงกลมทั้งสอง หากรูปวงกลมที่กลิ้งมีรัศมี r หน่วย และรูปวงกลมที่อยู่กับที่มีรัศมี R = kr หน่วย ค่า k หมายถึงจำนวนเท่าของรัศมีรูปวงกลมที่อยู่กับที่ ต่อรัศมีรูปวงกลมที่กลิ้ง ดังนั้นเอพิไซคลอยด์สามารถเขียนได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

หรือ

x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,

y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right)\,

ถ้า k เป็นจำนวนเต็ม เส้นโค้งที่ได้จะเป็นรูปปิดคล้ายดอกไม้หรือใบบัว และมี บัพแหลม (ร่องแหลมซึ่งไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้) ทั้งหมด k แห่งบนเส้นโค้ง
ถ้า k เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งสามารถเขียนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ k = p/q ได้ เส้นโค้งนี้จะมีบัพแหลม p แห่ง และต้องกลิ้งรอบรูปวงกลม q รอบจึงจะได้รูปปิด
ถ้า k เป็นจำนวนอตรรกยะ เส้นโค้งนี้จะวนที่ตำแหน่งใหม่ไปเรื่อยๆ และไม่มาบรรจบกันเป็นรูปปิด ทำให้เติมที่ว่างระหว่างรูปวงกลมที่อยู่กับที่ จนถึงรูปวงกลมรัศมี R + 2r จนเต็ม (เป็นรูปวงแหวนทึบ)

ตัวอย่างเอพิไซคลอยด์
k = 1 หรือ (cardioid)
k = 2 หรือ (nephroid)
k = 3
k = 4
k = 2.1 = 21/10
k = 3.8 = 19/5
k = 5.5 = 11/2
k = 7.2 = 36/5

อ้างอิง

Epicycloid Evolute ที่ MathWorld
Epicycloid Involute ที่ MathWorld

J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 161, 168–170, 175. ISBN .

ดูเพิ่ม

[1] Epicycloid Evolute ที่ MathWorld

[2] Epicycloid Involute ที่ MathWorld