เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (ทับศัพท์ว่า ทรานสโพส) คือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ A ที่มีมิติ m×n จะเขียนแทนด้วย A^T (บางครั้งอาจพบในรูปแบบ A^t, A^tr, ^tA หรือ A′) ซึ่งจะมีมิติเป็น n×m (สลับกัน) นิยามโดย

${\displaystyle A_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}}$

สำหรับทุกค่าของ i และ j ที่ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ m ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$

คุณสมบัติ

กำหนดให้เมทริกซ์ A, B และสเกลาร์ c คุณสมบัติของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนมีดังนี้

1. เมทริกซ์ที่สลับเปลี่ยนสองครั้งจะได้เมทริกซ์ต้นแบบ

   ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\,}$

2. การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติการกระจายในการบวก เมื่อเมทริกซ์ทั้งสองสามารถบวกกันได้

   ${\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }\,}$

3. การสลับเปลี่ยนของเมทริกซ์มีคุณสมบัติการกระจายในการคูณ เมื่อเมทริกซ์ทั้งสองสามารถคูณกันได้ โปรดสังเกตว่าลำดับของการคูณจะเรียงย้อนกลับ ไม่ว่าจะมีกี่เมทริกซ์ก็ตาม

   ${\displaystyle \left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }\,}$

4. การสลับเปลี่ยนของสเกลาร์ ก็จะได้สเกลาร์ตัวเดิม จึงสามารถดึงตัวร่วมออกมาได้

   ${\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }\,}$

5. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะมีค่าเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยน

   ${\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)\,}$

6. ผลคูณจุด (dot product) ของเวกเตอร์สองคอลัมน์ a กับ b สามารถคำนวณได้จาก

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} \,}$

7. เมทริกซ์ผกผันของการสลับเปลี่ยน เท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของการผกผัน

   ${\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }\,}$