เพนดูลัมผกผัน

เพนดูลัมผกผัน (อังกฤษ: Inverted pendulum) เป็นปัญหาพื้นฐานที่ใช้ในการเรียนการสอนและในการสาธิตการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม เพนดูลัมผกผันเป็นระบบที่มีอยู่รอบแกนหมุนด้วยกันสองจุด ได้แก่จุดที่เพนดูลัมตั้งตรงอยู่ในแนวดิ่ง และจุดที่เพนดูลัมอยู่ทิ้งตัวลงในดิ่ง แต่จุดที่มีเมื่อไม่มีตัวควบคุมนั้นจะมีจุดเดียวคือ จุดที่แกนทิ้งตัวลงเท่านั้น ไม่ว่าเราจะปล่อยเพนดูลัมที่จุดใดก็ตาม เพนดูลัมจะตกลงสู่จุดนี้เสมอ การที่จะทำให้เพนดูลัมนี้สามารถตั้งตรงในแนวดิ่งได้นั้นขึ้นกับการใส่ตัวควบคุมที่เหมาะสมเข้าไปในระบบซึ่งมีได้หลากหลายวิธี และอีกทั้งยังสามารถออกแบบตัวควบคุมให้เป็น(เชิงเส้น) หรือแบบ(ไม่เชิงเส้น)ก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ออกแบบและความเหมะสม

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันสามารถประยุกต์ใช้กับระบบควบคุมการทรงตัวของพาหนะอย่าง เซกเวย์ (Segway)ได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผัน

ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากรางจ์ (Lagrange's equations) และตั้งสมุมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน ${\displaystyle x-y}$ ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่างๆเราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ ${\displaystyle \theta (t)}$ คือ มุมที่แท่งเพนดูลัมทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งเพนดูลัมมีความยาว ${\displaystyle l}$ ให้แรงจากภายนอกเป็น ${\displaystyle F}$ กระทำในทิศ ${\displaystyle x}$ ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน ${\displaystyle y}$ และกำหนดให้ ${\displaystyle x(t)}$ เป็นระยะของรถในแกน ${\displaystyle x}$ ที่แปรผันตามเวลา และ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้${\displaystyle L=T-V}$ โดย ${\displaystyle T}$ คือพลังงานจลน์ของระบบ และ ${\displaystyle V}$ คือพลังงานศักย์ของระบบ

รูปภาพแสดงรูปแบบของเพนดุลัมผกผันและตัวแปรที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }$
โดย ${\displaystyle v_{1}}$ เป็นความเร็วของของตัวรถ ${\displaystyle v_{2}}$ เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล ${\displaystyle m}$ ของมวลบนแท่งเพนดูลัม.
ทั้งนี้ ${\displaystyle v_{1}}$ และ ${\displaystyle v_{2}}$ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle \theta }$ ดังต่อไปนี้

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}}$

ทำการลดรูป ${\displaystyle v_{2}}$ ได้ผลเป็น

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$

แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากรางจ์ ได้ว่า:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

และสมการการเคลื่อนที่:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \partial x}=F}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

แทนที่ ${\displaystyle L}$ ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของเพนดูลัมแบบผกผันดังนี้

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็ก ๆ ซึ่งประมาณเป็น ${\displaystyle 0}$ ได้ (${\displaystyle \theta \approx 0}$) ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีระบบควบคุม
• Segway
• (Furuta pendulum)

อ้างอิง

1. เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 ()
2. M.W. Spong and M. Vidyasagar. Dynamics and Control of Root Manipulators. John Wiley, 1989
3. Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition5), Prentice Hall, 2010, ,9780136156734
4. [1]^[] Simple Inverted Pendulum Cart Dynamics Lagrangian Development by Jaspen Patenaude

แหล่งข้อมูลอื่น

• สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม มีตัวอย่างเป็นเพนดูลัมแบบผกผัน ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน 2007-05-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition5), Prentice Hall, 2010, ,9780136156734
• Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall.
• Norman S. Nise, Control Systems Engineering (Edition6), John Wiley & Sons, 2010, , 9780470547564
• เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 ()
• วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ, ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 ()