ระบบมีพลวัตแบบเวลายง

ระบบมีพลวัตแบบเวลายง หรือ ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (อังกฤษ: Time-invariant system) คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า ${\displaystyle x(t)}$ ที่เวลา ${\displaystyle t}$ จะได้สัญญาณขาออกเป็น ${\displaystyle y(t)}$ ที่เวลา ${\displaystyle t}$ ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา ${\displaystyle t+\delta }$ นั้นคือ ${\displaystyle x(t+\delta )}$ สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ ${\displaystyle y(t+\delta )}$เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา ${\displaystyle t+\delta }$ ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า ${\displaystyle x(t+\delta )}$

ตัวอย่างที่หนึ่ง

ตัวอย่างนี้เป็นการพิจารณาอย่างง่าย โดยเมื่อพิจารณา สมการสถานะ :

• ระบบ A: ${\displaystyle y(t)=t\,x(t)}$
• ระบบ B: ${\displaystyle \,\!b(t)=10x(t)}$

จะเห็นได้ว่า ระบบ A นั้นมีพารามิเตอร์ของระบบ (สัมประสิทธิ์หน้า ${\displaystyle x(t)}$ ) ขึ้นกับเวลา t อย่างชัดแจ้ง นั้นหมายความว่าระบบมีคุณสมบัติเปลี่ยนแปรตามเวลาได้ ส่วนระบบ B นั้น พารามิเตอร์ของระบบไม่ขึ้นกับ เวลา t ดังนั้นระบบเป็นระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

ตัวอย่างที่ 2

ในตัวอยางนี้เราจะใช้นิยามที่ 2 ในการตรวจสอบคุณสมบัติความไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาของระบบ

ระบบ A:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า (delay) ${\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=t\,x(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}$

และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา ${\displaystyle t+\delta }$

${\displaystyle y(t)=t\,x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

จะเห็นได้ว่า ${\displaystyle y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)}$, ดังนั้นระบบมีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

ระบบ B:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า ${\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=10\,x(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )}$

และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา ${\displaystyle \,\!\delta }$

${\displaystyle y(t)=10\,x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )}$

จะเห็นได้ว่า ${\displaystyle y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)}$, ดังนั้นระบบไม่มีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

ตัวอย่างที่ 3

เราจะใช้ ตัวดำเนินการเลื่อน (shift operator) โดยเขียนในสัญลักษณ์ ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ โดยที่ ${\displaystyle r}$ คือจำนวนที่เราต้องการทำการเลื่อนเชิงเวลา ตัวอย่างเช่น ระบบที่มีการล้ำหน้าเชิงเวลาไป 1 (advance-by-1)

${\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}$

เวลาเขียนในรูปแบบที่ใช้ตัวดำเนินการเลื่อนได้ดังนี้

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}$

โดยที่ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ คือฟังก์ชันนิยามโดย

${\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }$

ซึ่งหลังจากดำเนินการเลื่อนแล้วจะได้ว่า

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }$

โดยจะเห็นได้ว่า ${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$ คือตัวดำเนินการที่ทำให้สัญญาณขาเข้าของเวกเตอร์เลื่อนไปข้างหน้า 1 ขั้นของหน่วยเวลา

หากเราเขียนระบบในในรูปของของตัวระบบ (ในที่นี้คือพารามิเตอร์ A, B, C, D ในรูปแบบสมการปริภูมิสถานะนั้นเอง) ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ที่ว่านี้ จะเห็นได้ว่าระบบจะมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลา ถ้าสมการของตัวระบบมีสมบัติการสลับที่กับตัวดำเนินการเลื่อน ดังนี้

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r}$

นั้นคือถ้าระบบของเราสามารถเขียนได้ในรูปสมการนี้

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}$

จะเห็นได้ว่าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลาถ้าเราสามารถดำเนินการระหว่าง ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ต่อ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ แล้วตามด้วยนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ที่หลัง หรือ เราสามารถดำเนินการ ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ กับ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ได้เลย แล้วนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ โดยผลลัทพ์ที่ได้สุดท้าย นั้นจะไม่แต่ต่างกันเลย

โดยการดำเนินการของระบบ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ก่อนกับ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ จะได้

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

โดยการดำเนินการเลื่อน ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ต่อ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ก่อนจะได้

${\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}$

และถ้าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปรงเชิงเวลาแล้วจะได้ว่า

${\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$

ดูเพิ่ม

• Finite impulse response
• LTI system theory
• Sheffer sequence
• State space
• System analysis
• Time-variant system
• Shift invariant system