ซิกม่าฟิลด์

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตซิกมา หรือ ซิกมาแอลจีบรา หรือ ซิกมาฟิลด์ (สัญกรณ์ที่นิยมใช้: σ-algebra) ที่นิยามบนเซต X คือ สับเซตของพาวเวอร์เซตของ X ที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก และมีภายใต้ คอมพลีเมนต์ และการยูเนียนแบบนับได้. พีชคณิตซิกมาเป็นที่สำคัญที่ใช้มากในคณิตวิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น.

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด ${\displaystyle \Sigma \subseteq 2^{X}}$, เราจะกล่าวว่า ${\displaystyle \Sigma }$ เป็นพีชคณิตซิกมาบน ${\displaystyle X}$ ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \Sigma }$ มีคุณสมบัติต่อไปนี้

1. ${\displaystyle \varnothing \in \Sigma }$
2. ถ้า ${\displaystyle E\in \Sigma }$ แล้ว, ${\displaystyle E^{c}\in \Sigma }$ ด้วย
3. ถ้า ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...\in \Sigma }$ แล้ว ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\in \Sigma }$ ด้วย

หมายเหตุ

1. การจะนิยามพีชคณิตซิกมา ต้องกำหนดเสมอว่านิยามบนเซตใด (เช่น ${\displaystyle X}$ ในตัวอย่างข้างบน) มิฉะนั้นจะไม่มีความหมายในทางคณิตศาสตร์.
2. จากนิยามในข้อ 2 และ 3 เราจะได้ว่าพีชคณิตซิกมามีคุณสมบัติปิดภายใต้อินเตอร์เซกชันแบบนับได้ด้วย เนื่องจาก ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}=(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}^{c})^{c}}$
3. ในทฤษฎีเมเชอร์นั้น สมาชิกของ ${\displaystyle \Sigma }$ ใด ๆ จะถูกเรียกว่า เซตหาเมเชอร์ได้ และยังเรียกสัญกรณ์ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ว่า ปริภูมิหาเมเชอร์ได้ (โดย ฟังก์ชันเมเชอร์ จะต้องนิยามบนปริภูมินี้ เพื่อนิยามเมเชอร์ในรูปแบบต่าง ๆ ในปริภูมิที่สามารถวัดได้นี้: ดู ทฤษฎีเมเชอร์)
4. ในทางทฤษฎีความน่าจะเป็น มักจะนิยามปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ ด้วย ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})}$ เนื่องจาก ${\displaystyle X}$ มักจะใช้แทนตัวแปรสุ่ม และ ${\displaystyle \Sigma }$ มักใช้แทนการหาอนุกรม. นอกจากนี้ยังมักเรียกพีชคณิตซิกมา ว่า ซิกมาฟิลด์ มี่ที่มาจาก และสัญกรณ์ σ (ซิกมา) ที่มักใช้แทนความหมายของการยูเนียนแบบนับได้.

???

ตัวอย่าง

1. กำหนด ${\displaystyle X}$ เป็นเซตใด ๆ. เราจะได้ว่า ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดบน ${\displaystyle X}$, และ ${\displaystyle 2^{X}}$ เป็นพีชคณิตซิกมาที่ใหญ่ที่สุดบน ${\displaystyle X}$
2. กำหนด ${\displaystyle \{\Sigma _{\alpha }\}}$ ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาบน ${\displaystyle X}$ เราจะได้ว่า ${\displaystyle \bigcap _{\alpha }\Sigma _{\alpha }}$ เป็นพีชคณิตซิกมาบน ${\displaystyle X}$ ด้วย
3. (แสดงการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง 2.) กำหนดให้ ${\displaystyle \{\Sigma _{\alpha }\}}$ ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาทั้งหมดที่มีเป็นสมาชิก และนิยามบน ${\displaystyle X}$ ซึ่งเป็นใด ๆ เราจะเรียก ${\displaystyle \bigcap _{\alpha }\Sigma _{\alpha }}$ ว่า (Borel σ-algebra) ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตซิกมาที่สำคัญและพบเจอบ่อยที่สุด. สังเกตว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล นี้เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุด ที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก (เนื่องจากเกิดจากอินเตอร์เซกชันของพีชคณิตซิกมาทุกรูปแบบที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก). เรามักเรียก พีชคณิตซิกมาของโบเรล ว่าพีชคณิตซิกมาที่สร้างจากเซตเปิด.
4. ใน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ได้กำหนดพีชคณิตซิกมาที่สำคัญมากเพื่อใช้ในเมเชอร์ ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ ใน นั่นคือ โดยมี พีชคณิตซิกมาของโบเรล เป็นสับเซต. สมาชิกในพีชคณิตซิกมาชนิดนี้เรียกว่า . โดยในทฤษฎีปริพันธ์บนปริภูมิยุคลิด พีชคณิตซิกมานี้สำคัญมาก ถึงขนาดที่ว่านักคณิตศาสตร์หลายท่านใช้คำว่า เซตที่สามารถวัดได้ แทน เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก เลยทีเดียว.

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีเมเชอร์
• สัจพจน์ความน่าจะเป็น