กราฟถ่วงน้ำหนัก

ทฤษฎีกราฟเติบโตอย่างรวดเร็วในวงการวิจัยด้านคณิตศาสตร์ และมีคำศัพท์เฉพาะทางอยู่หลายคำ บทความนี้จะรวบรวมคำและความหมายของศัพท์ในทฤษฎีกราฟ

พื้นฐาน

กราฟ G มีส่วนประกอบพื้นฐานอยู่ 2 ส่วนคือ จุดยอด และ เส้นเชื่อม เส้นเชื่อมทุกเส้นมีจุดยอดปลาย 2 จุด ซึ่งจุดยอดปลายจะเชื่อมโยงหรือประชิดกัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามเส้นเชื่อมในรูปแบบของคู่ไม่อันดับในกรณีของกราฟไม่มีทิศทาง หรือคู่อันดับในกรณีของกราฟมีทิศทาง (อ่านหัวข้อทิศทาง)

จุดยอด มักเขียนแทนด้วยจุด เซตจุดยอดของ G เขียนแทนด้วย V(G) หรือ V อันดับของกราฟ คือ จำนวนของจุดยอด ซึ่งเท่ากับ |V(G)|

เส้นเชื่อม (ในที่นี้คือเส้นเชื่อมไม่มีทิศทางซึ่งเป็นคู่ไม่อันดับของจุดยอด) มักเขียนแทนด้วยเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดยอด (จุดยอดปลาย) 2 จุด เส้นเชื่อมที่มีจุดยอดปลายเป็น x กับ y จะเขียนแทนด้วย xy โดยไม่มีสัญลักษณ์ใดๆอยู่ตรงกลาง เซตของเส้นเชื่อมของ G เขียนแทนด้วย E (G) หรือ E

ขนาดของกราฟ คือจำนวนของเส้นเชื่อม ซึ่งเท่ากับ |E(G)|

คือ เส้นเชื่อมที่มีจุดยอดปลายเป็นจุดยอดเดียวกัน ลิงก์ คือ เส้นเชื่อมที่มีจุดยอดปลายทั้ง 2 เป็นคนละจุด เส้นเชื่อมซ้ำ คือ เส้นเชื่อมที่มีเส้นเชื่อมอื่นเชื่อมจุดยอดปลายทั้งสองของมันเหมือนกัน เส้นเชื่อมเชิงเดียว คือ เส้นเชื่อมที่ไม่เป็นเส้นเชื่อมซ้ำ กราฟเชิงเดียว คือ กราฟที่ไม่มีเส้นเชื่อมซ้ำและไม่มีวงวน คือ กราฟที่อาจมีเส้นเชื่อมซ้ำแต่นิยามอนุญาตให้มีวงวนหรือไม่มีวงวนก็ได้ คือกราฟที่อาจมีเส้นเชื่อมซ้ำและอาจมีวงวน

การระบุชื่อกราฟ คือ การกำหนดชื่อให้กับเส้นเชื่อมและจุดยอดของกราฟ (โดยทั่วไปมักกำหนดชื่อด้วยจำนวนธรรมชาติ) กราฟที่ระบุชื่อให้กับเส้นเชื่อมหรือจุดยอด จะเรียกว่า ถ้าไม่ได้ระบุชื่อ เรียกว่า กราฟไม่ระบุชื่อ อาจจำแนกเป็นการระบุชื่อที่จุดยอดหรือเส้นเชื่อมอีกก็ได้

กราฟเชิงเดียวระบุชื่อ ที่มีเซตจุดยอด V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และเซตเส้นเชื่อม E = {{1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6}}

กราฟศูนย์ คือ กราฟที่ไม่มีจุดยอดและไม่มีเส้นเชื่อมอยู่เลย หรือ เป็นกราฟที่ไม่มีเส้นเชื่อม แต่มีจุดยอดอยู่จำนวนหนึ่ง ในกรณีนี้เราจะเรียกว่า กราฟศูนย์บนจุดยอด n จุด

กราฟอนันต์ คือ กราฟที่มีจุดยอดอยู่เป็นอนันต์ หรือมีเส้นเชื่อมอยู่เป็นอนันต์ กราฟที่ไม่เป็นกราฟอนันต์ เรียกว่า กราฟจำกัด

กราฟ G และ H จะสมสัณฐาน ก็ต่อเมื่อ เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดยอดของกราฟทั้งสองได้ โดยที่ จุดยอดสองจุดใดๆใน G จะประชิดกันก็ต่อเมื่อ จุดยอดสองจุดที่สมนัยกับมันใน H ประชิดกันด้วย

กราฟย่อย

กราฟย่อย ของกราฟ G คือกราฟที่มีเซตจุดยอดและเซตเส้นเชื่อม เป็นเซตย่อยของ G

แนวเดิน

แนวเดิน คือ ลำดับสลับระหว่างจุดยอดและเส้นเชื่อม โดยเริ่มต้นและลงท้ายที่จุดยอด โดยที่จุดยอดจะต่อกับเส้นเชื่อมที่อยู่หน้าและตามหลังมันในลำดับ แนวเดินปิดคือแนวเดินที่จุดยอดแรกและจุดยอดท้ายเป็นจุดยอดเดียวกัน แนวเดินที่ไม่เป็นแนวเดินปิดเรียกว่า แนวเดินเปิด

ความยาวของแนวเดิน คือ จำนวนเส้นเชื่อมที่ใช้ในแนวเดิน

รอยเดิน คือ แนวเดินที่ใช้เส้นเชื่อมแต่ละเส้นเพียงครั้งเดียว รอยเดินปิด เรียกว่า ทัวร์ หรือ วงจร

วิถี มักหมายถึง แนวเดินเปิด โดยทั่วไปแล้ว วิถีมักจะหมายถึงวิถีเชิงเดียว นั่นคือ จุดยอดทุกจุดจะติดกับเส้นเชื่อมอย่างมากสองเส้น จากกราฟตัวอย่างข้างบน (5, 2, 1) คือ วิถีที่มีความยาวเท่ากับ 2 วัฏจักร คือ วิถีที่จุดเริ่มต้นกับจุดท้ายเป็นจุดเดียวกัน จากกราฟตัวอย่าง (1, 5, 2, 1) เป็นวัฏจักรที่มีความยาวเท่ากับ 3 วิถีที่มีจุดยอด n จุด เขียนแทนด้วย P_n วัฏจักรที่มีจุดยอด n จุด เขียนแทนด้วย C_n (อย่างไรก็ตาม มีผู้เขียนบางคนใช้ความยาวแทนจำนวนจุดยอด)

วัฏจักรคี่ คือ วัฏจักรที่มีความยาวเป็นจำนวนคี่ วัฏจักรคู่ คือ วัฏจักรที่มีความยาวเป็นจำนวนคู่ มีทฤษฎีบทหนึ่งกล่าวว่า กราฟจะเป็นกราฟสองส่วน ก็ต่อเมื่อ มันไม่มีวัฏจักรคี่อยู่

ของกราฟ คือ ความยาวของวัฏจักร (เชิงเดียว) ที่สั้นที่สุดในกราฟ เส้นรอบวงของกราฟ คือ ความยาวของวัฏจักร (เชิงเดียว) ที่ยาวที่สุดในกราฟ กราฟที่ไม่มีวัฏจักรจะถือว่ามี girth และเส้นรอบวง เท่ากับอนันต์ ∞

กราฟอวัฏจักร คือ กราฟที่ไม่มีวัฏจักร คือกราฟที่มีวัฏจักรอยู่ 1 วัฏจักร

C₁ เรียกว่า วงวน C₂ เรียกว่าคู่ของเส้นเชื่อมซ้ำ C₃ เรียกว่า รูปสามเหลี่ยม

ต้นไม้

ต้นไม้ คือ กราฟเชิงเดียวเชื่อมโยงที่ไม่มีวัฏจักร ใบ คือ จุดยอดที่มีระดับขั้นเท่ากับ 1 เส้นเชื่อมใบ คือ เส้นเชื่อมที่ต่อกับใบ จุดยอดที่ไม่ใช่ใบเรียกว่า จุดยอดภายใน ต้นไม้จะถูกเรียกว่า ต้นไม้มีราก ถ้ามีจุดยอดหนึ่งจุดที่ถูกกำหนดให้เป็นราก ต้นไม้มีรากจะเป็นเมื่อเส้นเชื่อมชี้ออกจากรากเสมอ

ต้นไม้ เป็นโครงสร้างข้อมูลที่นิยมใช้กันในวิทยาการคอมพิวเตอร์ (ดูโครงสร้างข้อมูลแบบต้นไม้)

ป่า คือ กลุ่มของต้นไม้ที่ไม่มีจุดยอดร่วมกัน

ต้นไม้ย่อยของกราฟ G คือ กราฟย่อยที่เป็นต้นไม้

ต้นไม้ทอดข้าม คือ กราฟย่อยทอดข้ามที่เป็นต้นไม้ กราฟเชื่อมโยงจะมีต้นไม้ทอดข้ามเสมอ

กลุ่มพรรคพวก

กราฟแบบบริบูรณ์ K_n คือ กราฟเชิงเดียวที่มีจุดยอด n จุด และจุดยอดทุกจุดจะประชิดกับจุดยอดอื่นๆทุกจุด กราฟแบบบริบูรณ์ที่มีจุดยอด n จุด เขียนแทนด้วย K_n ซึ่งจะมีเส้นเชื่อม n (n-1)/2 เส้น

ในกราฟ คือ กลุ่มของจุดยอดที่จุดยอดทุกจุดในกลุ่มประชิดกัน กลุ่มพรรคพวกอันดับ k คือ กลุ่มพรรคพวกที่มีจุดยอด k จุด จากตัวอย่างข้างบน จุดยอด 1, 2, 5 เป็นกลุ่มพรรคพวกอันดับ 3 หรือเรียกว่า รูปสามเหลี่ยม

หมายเลขกลุ่มพรรคพวก ω (G) ของกราฟ G คือ อันดับของกลุ่มพรรคพวกที่ใหญ่สุดใน G

ส่วนประกอบที่เชื่อมกันแบบเข้ม

การประชิด และระดับขั้น

ระดับขั้น d_G (v) ของจุดยอด v ในกราฟ G คือ จำนวนเส้นเชื่อมที่ต่อกับ v ถ้าเส้นเชื่อมเป็นวงวนให้นับสองครั้ง จุดเอกเทศ คือ จุดยอดที่มีระดับขั้น 0. ใบ คือ จุดยอดที่มีระดับขั้น 1. จากกราฟตัวอย่าง จุดยอด 1 และ 3 มีระดับขั้น 2. จุดยอด 2, 4, 5 มีระดับขั้น 3. จุดยอด 6 มีระดับขั้น 1. ถ้า E เป็นเซตจำกัดแล้ว ผลบวกของระดับขั้นของจุดยอดในกราฟ จะเท่ากับจำนวนเส้นเชื่อมคูณสอง

ลำดับระดับขั้น คือรายการของระดับขั้นของกราฟ ที่เรียงลำดับจากมากไปน้อย (d₁ ≥ d₂ ≥ … ≥ d_n)

จุดยอด u และจุดยอด v จะประชิดกัน ถ้ามีเส้นเชื่อมเชื่อมระหว่าง u กับ v เขียนแทนด้วย u ↓ v จากกราฟตัวอย่าง จุดยอด 1 กับ 2 ประชิดกัน แต่จุดยอด 2 กับ 4 ไม่ประชิดกัน

ระดับขั้นสูงสุด Δ (G) ของกราฟ G คือระดับขั้นที่มีค่าสูงสุดของจุดยอดในกราฟ ระดับขั้นต่ำสุด δ (G) ของกราฟ G คือระดับขั้นที่มีค่าต่ำสุดของจุดยอดในกราฟ

ความต่อเนื่อง

ระยะทาง

กราฟถ่วงน้ำหนักและเครือข่าย

กราฟถ่วงน้ำหนัก (weighted graph) คือ กราฟที่มีการกำหนดค่าให้กับเส้นเชื่อมแต่ละเส้น ซึ่งอาจเป็น ค่าใช้จ่าย, น้ำหนัก, ความยาว หรืออื่นๆขึ้นกับการใช้งาน บางคนเรียกกราฟประเภทนี้ว่าเครือข่าย กราฟถ่วงน้ำหนักนำไปใช้ในการแก้ปัญหาหลายๆอย่าง เช่น ปัญหาวิถีสั้นสุด เป็นต้น โดยทั่วไปน้ำหนักที่ถ่วงจะถือว่าเป็นจำนวนจริงบวก ในกรณีที่น้ำหนักเส้นเชื่อมเป็นลบได้จะมีการระบุเพิ่มเติม เนื่องจากการจัดการกับกรณีทั้งสองในหลายๆปัญหานั้นต่างกัน

โดยทั่วไปหากกล่าวถึงกราฟจะหมายถึงกราฟไม่ถ่วงน้ำหนัก (unweighted graph) ซึ่งไม่มีน้ำหนักถ่วงที่เส้นเชื่อม

ทิศทาง

กราฟอวัฏจักรระบุทิศทาง

การให้สีกราฟ

อื่นๆ

• (en:hypergraph)
• กราฟสองส่วน
• กราฟสองส่วนบริบูรณ์
• (en:Eulerian path)
• (en:Hamiltonian path)
• เซตอิสระ
• (en:Matching (graph theory))
• (en:Bridge (graph theory))
• (en:Distance (graph theory))
• กราฟเชิงระนาบ
• ปัญหาวิถีสั้นสุด
• ต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด
• (en:Maximum flow)
• (en:graph invariant)

ดูเพิ่ม

• กราฟ (คณิตศาสตร์)
• ทฤษฎีกราฟ