ขั้นตอนวิธีการผลักดัน - ติดป้ายใหม่

ขั้นตอนวิธีการผลักดัน - ติดป้ายใหม่ (อังกฤษ: Push–relabel maximum flow algorithm) เป็นหนึ่งในกลไกที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดเพื่อคำนวณ

ขั้นตอนวิธี

กำหนดให้การไหลของเครือข่าย G(V,E) ที่มีความจุจากปม u ไปยัง ปม v ให้เป็น c(u,v) , เราต้องการหาปริมาณการไหลสูงสุดจากจุดเริ่มต้นที่ปม s ไปยังจุดสิ้นสุดที่ปม t ภายในเครือข่าย โดยใช้การดำเนินการ 2 อย่าง คือ การผลักดัน และ การติดป้ายใหม่ ดังนี้

• f(u,v) คือการไหลจากปม u ไปที่ปม v โดยให้ความจุที่ได้คือ c(u,v) − f(u,v)
• height(u) ถ้าเงื่อนไข height(u) > height(v) เราจะทำการผลักดันจากปม u ไปปม v เท่านั้น โดยที่ สำหรับทุกปม u จะทำให้ height(u) เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ
• excess(u) คือผลรวมการไหลทั้งเข้าและออกจาก u

ในแต่ละขึ้นตอนของขั้นตอนวิธีนั้น จะทำการไหลก่อนล่วงหน้า เพื่อให้ผลคำนวณเป็นไปตามที่เราต้องการ ดังนี้

• f(u,v) ≤ c(u,v) คือ การไหลจากปม u ไปปม v นั้น ต้องไม่เกินความจุจากปม u ไปปม v
• f(u,v) = -f(v,u) เราจะคงค่าการไหลไว้ คือ ไหลไปในทิศทางเดียว ถ้าไหลย้อนกลับ ค่าการไหลนั้นจะติดลบ ซึ่งก็คือ ไหลย้อนทางนั่นเอง
• ∑ f(v,u) = excess(u) ≥ 0 สำหรับปม u ≠ s ที่เป็นจุดเริ่มต้นของการไหลเท่านั้น

ขอให้สังเกตว่าเงื่อนไขที่ทำการไหลก่อนล่วงหน้านี้ เป็นการผ่อนคลายจากสภาพที่สอดคล้องกันสำหรับ กฎการไหล ในเครือข่ายของการไหลปกติ เราสังเกตเห็นว่าเส้นทางที่ยาวมากที่สุดที่เป็นไปได้จากปม s ไปปม t คือ ขนาดของปม | V | ดังนั้นเป็นไปได้ที่จะกำหนดความสูงให้กับปม ตามกฎของการไหล ดังนี้ height(s) = | V | และ height(t) = 0 และถ้าค่าการไหลจากปม u ไปปม v นั้นเป็นบวก คือ height(u) > height(v) เราจะปรับความสูงของปม เหมือนกับการไหลของน้ำที่ไหลลงพื้น ความสูงของปม ( ยกเว้นปม s และปม t ) จะถูกปรับ และการไหลจะถูกส่งระหว่างปมจนกระทั่งถึงปม t จากนั้นเราจะทำการเพิ่มความสูงของปมที่อยู่ภายในจนกระทั่งทุกปมในเครือข่ายที่ไม่ถึงปม t มีการไหลย้อนกลับไปสู่ปม s ปมสามารถทำให้ความสูงถึง 2| V | − 1 ก่อนที่จะเสร็จสมบูรณ์ คือ ความยาวสูงสุดที่เป็นไปได้ของเส้นทางที่กลับมาที่ปม s รวมปม t ด้วย ยาวเท่ากับ | V | − 1 และมี height(s) = | V |, height(t) = 0

การผลักดัน

การผลักดันจากปม u ไปปม v ซึ่งหมายถึงการส่งส่วนหนึ่งของการไหลที่เกินจากปม u ไปปม v โดยทั้ง 3 เงื่อนไขข้างล่างนี้ต้องเป็นจริงจึงจะเกิดการผลักดัน

• excess(u) > 0 คือ การไหลเข้าปม u มากกว่า การไหลออกปม u
• c(u,v) − f(u,v) > 0 มีความจุที่เป็นค่าบวกจากปม u ไปปม v
• height(u) > height(v) คือ ต้องส่งผ่านไปยังปมที่ต่ำกว่าเท่านั้น

เราจะส่งปริมาณการไหลเท่ากับ min( excess(u), c(u,v) − f(u,v) )

การติดป้ายใหม่

ทำการติดป้ายใหม่บนปม u ที่เพิ่มขึ้นจนกว่าจะมีความสูงอย่างน้อย 1 ปมที่มีความจุที่มีค่าเป็นจำนวนบวก โดยมีเงื่อนไขของการติดป้ายใหม่ดังนี้

• excess(u) > 0 ต้องมีจุดที่ทำการติดป้ายใหม่ได้
• height(u) ≤ height(v) สำหรับทุกปม v ที่ c(u,v) − f(u,v) > 0 เฉพาะปมที่มีความจุสูงกว่า

เมื่อทำการติดป้ายใหม่นั้น เราจะทำการกำหนดให้ height(u) เป็นค่าที่น้อยที่สุด ดังที่ว่า height(u) > height(v) สำหรับบางปม v ที่ c(u,v) − f(u,v) > 0

ขั้นตอนวิธีการผลักดัน - ติดป้ายใหม่

โดยทั่วไปมีรูปแบบดังต่อไปนี้

1. ตราบใดที่ยังมีกฎการผลักดัน หรือ การดำเนินการติดป้ายใหม่ ให้ทำดังนั้
   1. ทำตามกฎการผลักดัน หรือ
   2. กฎการติดป้ายใหม่

เวลาการทำงานสำหรับขั้นตอนวิธีนี้อยู่ในรูปทั่วไป O(V2E) (อาร์กิวเมนต์ละเว้น)

การติดป้ายใหม่ทางด้านหน้า

การติดป้ายด้านหน้าบนปม u ทำได้ดังนี้

1. ตราบเท่าที่ excess(u) > 0
   1. หากยังไม่ติดป้ายใหม่ให้กับทุกปมที่มีเส้นเชื่อมต่อกับ u
      1. ให้ลองผลักดันในปมที่ยังไม่ได้ลอง
   2. ถ้าลองครบทุกปมแล้ว
      1. ให้ทำการติดป้ายที่ปม u ใหม่

ต้องทราบว่าตอนติดป้ายใหม่ครั้งล่าสุดนั้นเราได้ลองปมใดไปบ้าง

ขั้นตอนวิธีการติดป้ายใหม่ทางด้านหน้า โดยใช้การช่วยค้นหาแบบเข้ามาก่อนออกก่อน

โดยมีลำดับการผลักดัน และ ติดป้ายใหม่ ดังนี้

1. ส่งค่าการไหลที่มากที่สุดที่เป็นไปได้
2. สร้างรายการของทุกปม ยกเว้นปม s และปม t
3. ตราบเท่าที่เรายังไม่ได้ไปทุกปมที่อยู่ในรายการ ให้ทำดังนี้
   1. ติดป้ายใหม่ทางด้านหน้าให้กับปมปัจจุบัน
   2. ถ้าความสูงของปมปัจจุบันเปลี่ยนแปลง ให้ทำดังนี้
      1. ย้ายปมปัจจุบันไปไว้หน้าสุดของรายการ
      2. ทำการเริ่มต้นใหม่ตั้งแต่ปมแรกของรายการ

เวลาในการทำงานของการติดป้ายใหม่ทางด้านหน้า เป็น O(V³)

อ้างอิง

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. . Section 26.4: Push-relabel algorithms, and section 26.5: The relabel-to-front-algorithm.
• Jon Kleinberg & Eva Tardos. Algorithm Design. Pearson International Edition. Addison Wesley, 2006. . Section 7.4: The Preflow-Push Maximum-Flow Algorithm.