สามส งอ นด บพ ทาโกร ส อ งกฤษ Pythagorean triple ประกอบด วยจำนวนเต มบวกสามจำนวน ค อ a b และ c โดยท a2 b2 c2 สามส งอ นด บด

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (อังกฤษ: Pythagorean triple) ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกสามจำนวน คือ $a$ , $b$ และ $c$ โดยที่ $a 2 + b 2 = c 2$ สามสิ่งอันดับดังกล่าวนี้มักถูกเขียนเป็น $(a, b, c)$ ซึ่งตัวอย่างที่รู้จักกันดี คือ $(3, 4, 5)$ ถ้า $(a, b, c)$ เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส แล้วจะได้ $(ka, kb, kc)$ และมีจำนวนเต็มบวก $k$ ใด ๆ โดยถ้ารูปสามเหลี่ยมมีความยาวด้านเท่ากับค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสแล้วจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเรียกว่า รูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ชีวลักษณ์ (Animation) สาธิตค่าสามค่าที่น้อยที่สุดของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส คือ $32 + 4 2 = 5 2$

ปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (primitive Pythagorean triple) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน $a$ , $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (coprime) ซึ่งกล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 และ -1 เช่น $(3, 4, 5)$ เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ซึ่งในขณะที่ $(6, 8, 10)$ ไม่เป็นเนื่องจากมีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 คือ 2 และสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถย่อ/ขยาย ให้เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสที่มีเอกลักษณ์ได้ โดยการหาร $(a, b, c)$ ด้วยตัวหารร่วมมาก (greatest common divisor) ซึ่งในทางกลับกัน สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถหาได้โดยการคูณองค์ประกอบของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสด้วยจำนวนเต็มบวก

ชื่อของสามสิ่งอันดับของพีทาโกรัสนั้นมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem)ซึ่งอธิบายว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปนั้นมีความความสัมพันธ์ระหว่างด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้านและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามสูตร $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสสามอธิบายความยาวด้านทั้งสามที่เป็นจำนวนเต็มของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม จะไม่อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $a=b=1$ และ $c={\sqrt {2}}$ ซึ่งรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ $(1,1,{\sqrt {2}})$ ไม่เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเนื่องจากรากที่สองของสองไม่เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ อีกเหตุผลหนึ่งคือ $1$ และ ${\sqrt {2}}$ ไม่มีตัวคูณร่วมที่เป็นจำนวนเต็มเพราะ ${\sqrt {2}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสนั้นเป็นที่รู้จักกันตั้งแต่ยุคโบราณ รายงานที่เก่าที่สุดที่มีการบันทึกมาจาก Plimpton 322 ซึ่งเป็นแผ่นจารึกดินเหนียวของชาวบาบิโลเนียที่มีอายุประมาณปี 1800 ก่อนคริสตกาลที่ถูกเขียนด้วยระบบเลขฐานหกสิบ (sexagesimal)

เมื่อหาคำตอบในรูปของจำนวนเต็ม สมการ $a 2 + b 2 = c 2$ คือ สมการไดโอเฟนไทน์ (Diophantine equation) ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในการหาคำตอบที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักกันในชื่อของ สมการไม่เชิงเส้นไดโอเฟนไทน์ (nonlinear Diophantine equation)

เชิงอรรถและรายการอ้างอิง

(2005), "The modular tree of Pythagoras" (PDF), American Mathematical Monthly, vol. 112 no. 9, pp. 807–816, 10.1.1.112.3085, doi:10.2307/30037602, JSTOR 30037602, 2179860
Berggren, B. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (ภาษาสวีเดน), vol. 17, pp. 129–139
Barning, F.J.M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (PDF), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. (ภาษาดัตช์), vol. ZW-011, p. 37
Eckert, Ernest (1992), "Primitive Pythagorean triples", The College Mathematics Journal, vol. 23 no. 5, pp. 413–417, doi:10.2307/2686417, JSTOR 2686417
, Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90 (PDF)
(1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II) (2nd ed.), Dover Publications, ISBN
Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: , LCCN 77171950
(1875), "Rational right angled triangles nearly isosceles", , vol. 3 no. 2, pp. 47–50, doi:10.2307/2635906, JSTOR 2635906
McCullough, Darryl (2005), "Height and excess of Pythagorean triples" (PDF), Mathematics Magazine, vol. 78 no. 1, pp. 26–44, doi:10.1080/0025570X.2005.11953298
Romik, Dan (2008), "The dynamics of Pythagorean triples" (PDF), Trans. Amer. Math. Soc., vol. 360 no. 11, pp. 6045–6064, :math.DS/0406512, doi:10.1090/S0002-9947-08-04467-X, 2425702
Teigen, M.G.; Hadwin, D.W. (1971), "On Generating Pythagorean Triples", The American Mathematical Monthly, vol. 78 no. 4, pp. 378–379, doi:10.2307/2316903, JSTOR 2316903
(1998), "Pythagorean spinors and Penrose twistors", ใน S.A. Hugget; L.J. Mason; K.P. Tod; S.T. Tsou; N.M.J. Woodhouse (บ.ก.), Geometric universe (Postscript)

แหล่งข้อมูลอื่น

Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
Interactive Calculator for Pythagorean Triples
The negative Pell equation and Pythagorean triples
Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
Price, H. Lee (2008), The Pythagorean Tree: A New Species, :0809.4324
Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN
Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
Pythagorean Triplets
The Remarkable Incircle of a Triangle
Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
Weisstein, Eric W., "Pythagorean Triple", MathWorld

Long (1972, p. 48)
(2002), "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322" (PDF), , vol. 109 no. 2, pp. 105–120, doi:10.1080/00029890.2002.11919845

[1] Long (1972, p. 48)

[2] (2002), "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322" (PDF), , vol. 109 no. 2, pp. 105–120, doi:10.1080/00029890.2002.11919845