สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี

ในคณิตศาสตร์ ในรูปแบบ

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

เรียกว่า สมการแบร์นูลลี (อังกฤษ: Bernoulli equation) เมื่อ ${\displaystyle n\neq 1}$, ${\displaystyle 0}$ ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695 (Bernoulli 1695) สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

พิจารณา

${\displaystyle y'+2y\operatorname {sin} x=y^{-2}\operatorname {sin} x}$

หารตลอดทั้งสมการ

${\displaystyle {\frac {y'}{y^{-2}}}+{\frac {2\operatorname {sin} x}{y^{-3}}}=\operatorname {sin} x}$

ให้ ${\displaystyle w={\frac {1}{y^{-3}}}}$ เมื่อทำการหาอนุพันธ์จะได้ว่า

${\displaystyle w'=-w6\operatorname {sin} x+3\operatorname {sin} x}$

ทำการหาปริพันธ์

${\displaystyle w=e^{6\operatorname {cos} x}\left({\frac {1}{2}}e^{-6\operatorname {cos} x}+C\right)={\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}$

เนื่องจาก ${\displaystyle w=y^{3}}$ ดังนั้น ${\displaystyle y}$ มีค่าเท่ากับ

${\displaystyle y={}^{3}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}}}$

ตัวอย่างที่ 2

พิจารณาสมการแบร์นูลลี

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

โดยชัดเจน ${\displaystyle y=0}$ เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ เมื่อหารด้วย ${\displaystyle y^{2}}$ จะได้

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$

เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่

${\displaystyle w={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.}$

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}$

ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}$

คูณด้วย ${\displaystyle M(x)}$,

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}$

โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ ${\displaystyle wx^{2}}$ ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ

${\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}$

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

ผลลัพธ์ ${\displaystyle y}$ คือ

${\displaystyle y={\frac {5x^{2}}{x^{5}+C}}}$

และ ${\displaystyle y=0}$.

การโปรแกรมใน Math Lab

เราสามารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรมแมตแล็บ (MATLAB) โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้รหัสดังข้างล่างนี้

x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x') 

ให้ผลตอบทั้งสอง:

0 x^2/(x^5/5 + C1) 

อ้างอิง

1. ดูเพิ่มเติมได้จาก solution โดย  [en] โดยที่ผลตอบ ${\displaystyle y=0}$ จะไม่แสดงผลเพราะเป็นกรณีชัดแจ้ง (trivial case) อยู่แล้ว

• (1695). "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis". .. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: . ISBN ..

ดูเพิ่ม

• Bernoulli equation on
• Differential equation on
• Index of differential equations on