จำนวนสกีว

จำนวนสกีว (อังกฤษ: Skewes' number) ตั้งชื่อตามชื่อของ นักคณิตศาสตร์ชาวแอฟริกาใต้ หมายถึงเลขที่มีค่ามากเลขใดเลขหนึ่งที่สกีวพิสูจน์ว่าเป็นขอบเขตบนของจำนวนนับ x ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง

${\displaystyle \pi (x)-li(x)>0}$

เมื่อ π(x) เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ และ li(x) เป็น ปัจจุบันนักคณิตศาสตร์ทราบว่า กราฟของ π(x) กับ li(x) มีจุดตัดใกล้ค่า ${\displaystyle e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}}$ แต่ไม่ทราบว่าเป็นค่าน้อยสุดหรือไม่

ประวัติ

จอห์น เอเดนเซอร์ ลิตเติลวูด หัวหน้างานวิจัยของสกีว พิสูจน์ในปี 1914 ว่าจำนวน x ดังกล่าวมีอยู่จริง (แสดงว่าต้องมีค่า x บางค่าที่น้อยที่สุด) และยังพบอีกว่า π(x) - li(x) สลับค่าระหว่างบวก-ลบ เป็นอนันต์ครั้ง ซึ่งในขณะนั้น ตัวเลขทั้งหมดที่น้อยพอจะตรวจสอบได้ล้วนให้ π(x) < li(x) ทั้งสิ้น แสดงว่า x ดังกล่าวต้องมีค่าสูงมากพอควร อย่างไรก็ตามลิตเติลวูดพิสูจน์แค่การมีอยู่ x แต่ไม่ได้ให้ตัวอย่างค่า x ไว้

ต่อมาในปี 1933 สกีวจึงได้พิสูจน์ว่่า ถ้าเป็นจริง จะมีจำนวน x ที่ π(x) - li(x) < 0 ไม่เป็นจริงซึ่ง x น้อยกว่า

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}}$

และในปี 1955 สกีวพิสูจน์โดยไม่ใช้สมมติฐานของรีมันน์ว่าจะต้องมี x ที่น้อยกว่า

${\displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}}$

อ้างอิง

1. Skewes, S. (1933), "On the difference ", Journal of the London Mathematical Society, 8: 277–283, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.277
2. Skewes, S. (1955), "On the difference  (II)", Proceedings of the London Mathematical Society, 5: 48–70, doi:10.1112/plms/s3-5.1.48,