สัญกรณ์บรา-เค็ท

ในกลศาสตร์ควอนตัม สัญกรณ์บรา-เค็ท (อังกฤษ: bra–ket notation) คือ สัญกรณ์พื้นฐานที่ใช้ในการอธิบาย แทนด้วยสัญลักษณ์ angle bracket ("${\displaystyle \langle }$", และ "${\displaystyle \rangle }$") และ vertical bar ("${\displaystyle \mid }$") สัญกรณ์นี้สามารถแทนได้ทั้งเวกเตอร์และเมทริกซ์ ซึ่งถูกนำเสนอโดยพอล ดิแรก (Paul Dirac) ในปี 1939 และเป็นที่รู้จักกันในชื่อ สัญกรณ์ดิแรก (Dirac notation)

ในรูปผลคูณเชิงสเกลาร์ สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \langle \phi \mid \psi \rangle }$

ประกอบด้วยส่วนทางขวา ${\displaystyle |\psi \rangle }$ เรียกว่า เวกเตอร์เค็ท (ket vector)

และส่วนทางด้านซ้าย ${\displaystyle \langle \phi |}$ เรียกว่า เวกเตอร์บรา (bra vector) ซึ่งเป็นสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) ของเค็ท

สมบัติ

สัญกรณ์บรา-เค็ทถูกคิดค้นมาเพื่อความสะดวกในการแสดง state function หรือ state vector สามารถหาสมบัติบางประการ โดยกำหนดให้

c₁ และ c₂ แทน จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

c^∗ แทน สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน c

A แทน B แทน ตัวดำเนินการเชิงเส้นใด ๆ

ความเป็นเชิงเส้น

เนื่องจากบรา เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear functional)

${\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle }$

จากนิยามการบวกและการคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น

${\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle }$

สมบัติการเปลี่ยนหมู่

เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงซ้อน, บรา, เค็ท, ผลคูณภายใน (inner product), ผลคูณภายนอก (outer product) และตัวดำเนินการเชิงเส้น โดยสามารถเขียนในรูปสัญกรณ์บรา-เค็ทได้ดังนี้

${\displaystyle \langle \psi |(A|\phi \rangle )=(\langle \psi |A)|\phi \rangle \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle }$

${\displaystyle (A|\psi \rangle )\langle \phi |=A(|\psi \rangle \langle \phi |)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |}$

สังยุคเอร์มีเชียน

สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugation) แทนด้วยสัญลักษณ์ † มีกฎต่าง ๆ ดังนี้

• สังยุคเอร์มีเชียนของบรา คือ เค็ท
• สังยุคเอร์มีเชียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน 
• สังยุคเอร์มีเชียนของสังยุคเอร์มีเชียนใด ๆ คือ ตัวมันเอง ยกตัวอย่างเช่น :(x^†)^† = x

จากกฎต่าง ๆ สามารถแสดงสมบัติบางประการของสังยุคเอร์มีเชียนได้ดังนี้

• เค็ท

${\displaystyle \left(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle \right)^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|~}$

• ผลคูณภายใน (Inner products)

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle ~}$

(${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$ เป็นสเกลาร์ ดังนั้น สังยุคเอร์มีเชียน ก็คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}={\overline {\langle \phi |\psi \rangle }}}$)

• เมทริกซ์

${\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |A^{\dagger }|\phi \rangle }$

${\displaystyle \langle \phi |A^{\dagger }B^{\dagger }|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |BA|\phi \rangle ~}$

• ผลคูณภายนอก (Outer products)

${\displaystyle \left((c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|)+(c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|)\right)^{\dagger }=(c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|)+(c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|)~}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้น

ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ท

ตัวดำเนินการเชิงเส้น (linear operators) ที่กระทำต่อเค็ทและได้ผลเป็น เค็ท เราจะสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการนั้นเป็น “เชิงเส้น” ได้ เมื่อตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติที่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า ถ้าให้ ${\displaystyle A}$ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าเค็ท จะได้ว่า เมื่อ ${\displaystyle A}$ กระทำต่อ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ จะทำให้ได้ ${\displaystyle A|\psi \rangle }$ เป็นสถานะใหม่ขึ้นมา

ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกใช้อย่างมากในวิชากลศาสตร์ควอนตัม ใน Hilbert space ที่มีจำนวน ${\displaystyle N}$ มิติ สถานะ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ สามารถเขียนในรูปของคอลัมน์เวกเตอร์ ${\displaystyle N\times 1}$ มิติ ส่วนตัวดำเนินการ ${\displaystyle A}$ จะอยู่ในรูปเมริกซ์ ${\displaystyle N\times N}$ มิติ โดยที่ ${\displaystyle A|\psi \rangle }$ สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์

ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อบรา

ตัวดำเนินการจะกระทำจากทางด้านขวาของบรา ถ้าให้ ${\displaystyle A}$ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ ${\displaystyle \langle \psi |}$ เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าบรา ซึ่ง ${\displaystyle \langle \psi |A}$ จะเป็นสถานะใหม่ที่ถูกนิยามตามสมการ

${\displaystyle {\bigg (}\langle \phi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},}$

ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ ${\displaystyle \langle \psi |}$ สามารถเขียนในรูปของแถวเวกเตอร์ ${\displaystyle 1\times N}$ มิติ ส่วนตัวดำเนินการ ${\displaystyle A}$ จะอยู่ในรูปเมริกซ์ ${\displaystyle N\times N}$ มิติ โดยที่ ${\displaystyle \langle \psi |A}$ สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์ และถ้าสถานะของเวกเตอร์อยู่ในรูปของสัญกรณ์บราและเค็ทจะเขียนได้เป็น

${\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle }$

ผลที่ออกมาจะแสดงผลของปริมาณที่เรียกว่า ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ย

Outer products

วิธีที่จะนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นใน Hilbert space จะใช้ outer product โดยถ้าให้ ${\displaystyle \langle \psi |}$ และ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ เป็นสถานะที่เรียกว่าบราและเค็ทตามลำดับ จะเขียน outer product เป็น ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$ ซึ่งจะแสดงตัวดำเนินการที่เรียกว่า rank-one operator เป็นไปตามสมการ

${\displaystyle (|\phi \rangle \langle \psi |)(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle }$

สำหรับ vector space มิติจำกัดสามารถเขียนในรูปของการคูณแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้

${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |{\doteq \!\,}{\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$

ซึ่ง outer product ของตัวดำเนินการจะได้ออกมาเป็นเมทริกซ์ N× N มิติ