ขั้นตอนวิธีโฟรเบนีอุส

ขั้นตอนวิธีโฟรเบนิอุส (อังกฤษ: Frobenius algorithm) เป็นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่อยู่ในรูปแบบ

${\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0\!\;}$

หรือที่เราเรียกกันว่ารูปแบบที่ทำให้เกิดจุดเอกฐานปกติ(Regular Singular Point) ซึ่งรูปแบบที่หารสมการด้วย ${\displaystyle z^{2}}$ตลอดแล้วจะได้

${\displaystyle u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0}$

รูปแบบนี้จะไม่มีผลเฉลยเป็นทั่วไป

วิธีการ

รูปแบบของผลเฉลยจะพบว่ามี ${\displaystyle x^{r}}$ค่าหนึ่งคูณเข้าไปในทำให้ ${\displaystyle A_{0}}$ไม่ได้เป็นสัมประสิทธิ์ของ ${\displaystyle x^{0}}$ รูปแบบอนุกรมเป็นดังนี้

${\displaystyle u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$

เมื่อหาอนุพันธ์ของอนุกรมทั้งอันดับหนึ่งและอันดับสองจะได้

${\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}$

${\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}$

เมื่อแทนค่าแล้วจะได้

${\displaystyle z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}}$

${\displaystyle =(r(r-1)+p(0)r+q(0))A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}}$

เมื่อจัดพจน์แล้วเราพบว่าทั้งอนุกรมนี้จะให้คำตอบเท่ากับศูนย์ทุกๆค่า ${\displaystyle x}$ ดังนั้นสัมประสิทธิ์แต่ละตัวของ ${\displaystyle x^{n}}$ จะต้องเป็นศูนย์ด้วย สำหรับส่วนที่เกินขึ้นมานอก ${\displaystyle \sum }$ เป็นส่วนที่ใช้หาค่า r โดยเฉพาะ โดยการแทนค่าเพื่อหาค่า r ที่ทำให้สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นศูนย์โดยที่ ${\displaystyle A_{0}}$ ไม่เท่ากับศูนย์ ส่วนใน${\displaystyle \sum }$ จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดซึ่งใช้หา ${\displaystyle A_{n}}$ ต่อไป