สมดุลทางกลศาสตร์

สมดุลทางกลศาสตร์

วัตถุหนึ่งวางบนพื้นผิว โดยมีแรงกระทำ mg เป็นแรงน้ำหนัก และ N เป็นแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก ทั้งสองแรงมีขนาดเท่ากัน แต่ทิศตรงข้าม เพราะฉะนั้นแรงลัพธ์จึงเท่ากับศูนย์ จึงถือได้ว่าวัตถุนี้อยู่ในสถานะสมดุลเชิงกลเสถียร

ในทางกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคที่อยู่ในภาวะสมดุลกล คือมีแรงลัพธ์ต่ออนุภาคที่เป็นศูนย์ สำหรับระบบทางฟิสิกส์ที่ประกอบด้วยระบบย่อยๆหลายๆระบบรวมกัน ระบบนั้นจะอยู่ในภาวะสมดุลได้ก็ต่อเมื่อแรงลัพธ์ที่กระทำต่อระบบย่อยๆทั้งหมดเท่ากับศูนย์

นอกจากการกำหนดสมดุลทางกลในแง่ของแรงแล้วยังมีคำจำกัดความอื่น ๆ อีกมากมายสำหรับความสมดุลทางกล ในแง่ของโมเมนตัม (Momentum) ระบบจะอยู่ในภาวะสมดุล หากโมเมนตัมของส่วนๆย่อยในระบบมีค่าคงตัว หรือในแง่ของความเร็ว (Velocity) ระบบจะอยู่ในภาวะสมดุลถ้าความเร็วคงที่ สำหรับสภาวะสมดุลกลการหมุน โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุจะต้องอนุรักษ์ และ (Torque) เท่ากับศูนย์ โดยทั่วไปในระบบอนุรักษ์ สมดุลจะเกิดขึ้นเมื่อจุดหนึ่งที่ถูกกำหนดขึ้นในระบบ มีอัตราการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ ในพิกัดทั่วไปเป็นศูนย์

ถ้าอนุภาคในสภาวะสมดุลมีความเร็วเป็นศูนย์ อนุภาคนั้นจะอยู่ในภาวะสมดุลสถิต (Static equilibrium) เนื่องจากอนุภาคทั้งหมดในภาวะสมดุลมีความเร็วคงที่ นั่นคืออนุภาคจะอยู่นิ่งเสมอ เมื่อพิจารณาในกรอบอ้างอิงเฉื่อย (Inertial reference frame)

ความเสถียรภาพ (Stability)

คุณสมบัติที่สำคัญของระบบที่สมดุลกล คือความเสถียรภาพ

การตรวจสอบความเสถียรของพลังงานศักย์

ถ้าเรามีฟังก์ชันที่อธิบายพลังงานศักย์ของระบบ เราสามารถกำหนดจุดสมดุลของระบบได้โดยใช้แคลคูลัส ระบบที่มีความสมดุลเชิงกล ณ จุดวิกฤติ (Critical point) ของฟังก์ชันจะใช้อธิบายถึงพลังงานศักย์ของระบบ เราสามารถหาจุดเหล่านี้โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์ที่จุดเหล่านี้ เพื่อตรวจสอบว่าระบบมีเสถียรภาพหรือไม่เสถียร โดยเราจะใช้การทดสอบอนุพันธ์ลำดับที่สอง :

สมดุลไม่เสถียร

อนุพันธ์ลำดับสอง < 0

พลังงานที่มีศักยภาพอยู่ที่ระดับสูงสุด หมายความว่าระบบอยู่ในสถานะสมดุลที่ไม่เสถียร ถ้าระบบถูกรบกวนเล็กน้อยจากจุดสมดุล ระบบจะไม่สามารถกลับมายังสถานะสมดุลเดิมได้อีก

สมดุลเสถียร

อนุพันธ์ลำดับสอง > 0

พลังงานที่มีศักยภาพอยู่ที่ระดับต่ำสุด หมายความว่าระบบอยู่ในสถานะสมดุลที่เสถียร ถ้าระบบถูกรบกวนเล็กน้อยจากจุดสมดุล แล้วจะมีแนวโน้มที่จะกลับมาสู่สถานะสมดุลได้ ระบบสามารถมีจุดสมดุลได้มากกว่าหนึ่งจุด สำหรับระบบสมดุลใดๆที่มีพลังงานศักย์มากกว่าค่าสัมบูรณ์ต่ำสุดจะแสดงสถานะกึ่งสมดุล (Metastable state)

สมดุลสะเทิน

อนุพันธ์ลำดับสอง = 0

ระบบจะคงความเสถียรภาพไว้ ถ้าระบบไม่ถูกรบกวน และเพื่อหาเสถียรภาพของระบบ จะต้องมีการตรวจสอบอนุพันธ์ระดับสูงขึ้น ระบบจะอยู่ในสถานะสมดุลไม่เสถียร ถ้าอนุพันธ์ต่ำสุดที่ไม่เท่ากับศูนย์เป็นจำนวนคี่ หรือมีค่าเป็นลบ แต่ถ้าอนุพันธ์ต่ำสุดที่ไม่เท่ากับศูนย์เป็นจำนวนคู่ หรือมีค่าเป็นบวก แสดงว่าระบบอยู่ในสถานะสมดุลเสถียร สำหรับอนุพันธ์ระดับสูงขึ้นยังคงเท่ากับศูนย์ แสดงว่าไม่สามารถบอกถึงเสถียรภาพของสมดุลได้

เมื่อพิจารณาจากระบบมากกว่า 1 มิติ มีความเป็นไปได้ที่จะได้ผลลัพธ์แตกต่างกัน เมื่อพิจารณาทิศทางที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ระบบมีสมดุลเสถียรในทิศ x แต่มีสมดุลไม่เสถียรในแนวแกน y ระบบที่มีลักษณะแบบนี้ คือระบบที่มีจุดสมดุลแบบอานม้า (Saddle point) โดยทั่วไปความสมดุลจะมีเสถียรภาพ ถ้ามีระบบมีเสถียรภาพในทุกทิศทาง