ต วเหน ยวนำ อ งกฤษ Inductor บางคร งถ กเร ยกว าคอยล หร อร แอคเตอร อ งกฤษ coil หร อ reactor เป นช นส วนในวงจรไฟฟ าแบบพาสซ

ตัวเหนี่ยวนำ (อังกฤษ: Inductor) บางครั้งถูกเรียกว่าคอยล์หรือรีแอคเตอร์(อังกฤษ: coil หรือ reactor)เป็นชิ้นส่วนในวงจรไฟฟ้าแบบพาสซีฟสองขั้วไฟฟ้า(ขา) มีคุณสมบัติในการป้องกันการเปลี่ยนแปลงของกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวมัน มันประกอบด้วยตัวนำ เช่นลวดทองแดงม้วนกันเป็นวงกลม เมื่อกระแสไหลผ่านตัวมัน พลังงานจะถูกเก็บไว้ชั่วคราวในรูปสนามแม่เหล็กในคอยล์นั้น เมื่อกระแสนั้นเปลี่ยนแปลง, สนามแม่เหล็กที่แปรตามเวลาจะทำให้เกิดแรงดันไฟฟ้าในตัวนำนั้น ตามกฎการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้าของฟาราเดย์ ซึ่งจะต้านกับการเปลี่ยนแปลงของกระแสที่สร้างมัน

ทิศทางของสนามไฟฟ้าเกิดขึ้นตามกฏมือขวา ทิศทางของสนามเกิดในทิศทางของหัวแม่มือ, เมื่อกระแสไหลไปในทิศทางของนิ้วมือทั้งสี่

ตัวเหนี่ยวนำถูกกำหนดโดยการเหนี่ยวนำของมัน หรืออัตราส่วนของแรงดันไฟฟ้ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของกระแสไฟฟ้า ซึ่งมีหน่วยเป็น Henries (H) ตัวเหนี่ยวนำมีค่าปกติตั้งแต่ 1 μH (10^{- 6}H)จนถึง 1 H ตัวเหนี่ยวนำจำนวนมากมีแกนเป็นแม่เหล็กที่ทำจากเหล็ก หรือเฟอร์ไรต์ภายในคอยล์ เหมือนกับตัวเก็บประจุและตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำเป็นหนึ่งในสามชิ้นส่วนวงจรเชิงเส้นแบบพาสซีฟที่ประกอบขึ้นเป็นวงจรไฟฟ้า ตัวเหนี่ยวนำถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์กระแสสลับ (AC) โดยเฉพาะอย่างยิ่งในอุปกรณ์วิทยุ มันถูกใช้ป้องกันการไหลของกระแส AC ขณะที่ยอมให้กระแส DC ผ่านไปได้ ตัวเหนี่ยวนำที่ถูกออกแบบมาเพื่อการนี้จะเรียกว่าโช๊ค(อังกฤษ: choke) มันยังถูกใช้ในตัวกรองอิเล็กทรอนิกส์เพื่อแยกสัญญาณที่มีความถี่ที่แตกต่างกันและใช้ร่วมกับตัวเก็บประจุเพื่อทำเป็นวงจรปรับหาความถี่(อังกฤษ: tuner) ที่ใช้ในการปรับหาคลื่นสถานีของเครื่องรับวิทยุและโทรทัศน์

ภาพรวม

ค่าการเหนี่ยวนำ (L) เป็นผลมาจากสนามแม่เหล็กรอบตัวนำที่มีกระแสไหลผ่าน; กระแสไฟฟ้าในตัวนำจะสร้างฟลักซ์แม่เหล็ก(อังกฤษ: magnetic flux) เมื่อพูดแบบคณิตศาสตร์, การเหนี่ยวนำจะถูกกำหนดโดยปริมาณฟลักซ์แม่เหล็ก φ ผ่านวงจร เมื่อฟลักซ์นี้ถูกสร้างขึ้นโดยกระแส "i" ที่กำหนดให้

L={d\phi \over di}\,

ลวดหรือตัวนำอื่นๆจะสร้างสนามแม่เหล็กเมื่อกระแสไหลผ่านตัวมัน ดังนั้นทุกตัวนำมีค่าการเหนี่ยวนำไม่มากก็น้อย การเหนี่ยวนำของวงจรจะขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตของเส้นทางกระแส เช่นเดียวกับการซึมผ่านของแม่เหล็กของวัสดุที่ใกล้เคียง ในตัวเหนี่ยวนำ ลวดหรือตัวนำอื่นๆถูกทำ เป็นรูปต่างๆเพื่อเพิ่มสนามแม่เหล็ก การพันขดลวดเข้าไปในคอยล์จะเพิ่มจำนวนเส้นฟลักซ์แม่เหล็กที่เชื่อมโยงวงจร ซึ่งเป็นการเพิ่มสนามแม่เหล็กและเพิ่มการเหนี่ยวนำ ยิ่งพันมากรอบค่าการเหนี่ยวนำก็ยิ่งสูง การเหนี่ยวนำยังขึ้นอยู่กับรูปร่างของคอยล์, การแยกของรอบและปัจจัยอื่นๆอีกมากมาย โดยการพันคอยล์บน"แกนแม่เหล็ก"ที่ทำจากวัสดุ ferromagnetic เช่นเหล็ก, สนามแม่เหล็กที่ถูกสร้างขึ้นจากคอยล์จะเหนี่ยวนำสภาพการเป็นแม่เหล็กในวัสดุ เป็นการเพิ่มฟลักซ์แม่เหล็ก การซึมผ่านที่สูงของแกน ferromagnetic สามารถเพิ่มค่าการเหนี่ยวนำของคอยล์ไปอีกหลายพันเท่ามากกว่าค่าที่มันจะเป็นโดยไม่ได้ใช้วัสดุนี้

สมการที่เป็นส่วนประกอบ

การเปลี่ยนแปลงใดๆในกระแสผ่านตัวเหนี่ยวนำจะสร้างการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์, เป็นการเหนี่ยวนำให้เกิดแรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำนั้น ตามกฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ แรงดันไฟฟ้าที่ถูกเหนี่ยวนำโดยการเปลี่ยนแปลงใดๆในฟลักซ์แม่เหล็กผ่านวงจรมีค่าเป็น

v={d\phi \over dt}\,

จาก (1 ) ข้างต้น

v={d \over dt}(Li)=L{di \over dt}\,

(2)

ดังนั้นการเหนี่ยวนำยังเป็นตัวชี้วัดปริมาณของแรงเคลื่อนไฟฟ้า(แรงดันไฟฟ้า)ที่ถูกสร้างขึนต่อหน่วยการเปลี่ยนแปลงของกระแส ตัวอย่างเช่น ตัวเหนี่ยวนำที่มีค่าการเหนี่ยวนำเท่ากับ 1 henry จะผลิต EMF ได้ 1 โวลต์เมื่อกระแสผ่านตัวเหนี่ยวนำมีการเปลี่ยนแปลงในอัตรา 1 แอมแปร์ต่อวินาที สิ่งนี้มักจะถูกเรียกว่าเป็นความสัมพันธ์ส่วนประกอบ (การกำหนดสมการ)ของตัวเหนี่ยวนำ

กฎของ Lenz

ขั้ว(ทิศทาง) ของแรงดันไฟฟ้าที่ถูกเหนี่ยวนำจะถูกกำหนดโดยกฎของเลนซ์ ที่ระบุว่ามันจะต้าน การเปลี่ยนแปลงของกระแส ตัวอย่างเช่น ถ้ากระแสผ่านตัวเหนี่ยวนำเพิ่มขึ้น แรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำจะเป็นบวกที่ขากระแสเข้าและเป็นลบที่ขาออก พลังงานจากวงจรภายนอกที่จำเป็นในการ เอาชนะศักย์'เทือกเขา'นี้ จะถูกเก็บไว้ในสนามแม่เหล็กของตัวเหนี่ยวนำ; ตัวเหนี่ยวนำบางครั้งก็ ถูกเรียกว่า"กำลังชาร์จ" ถ้ากระแสลดลง แรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำจะเป็นลบที่ขากระแสเข้า พลังงานจากสนามแม่เหล็กจะถูกส่งกลับไปยังวงจร; ตัวเหนี่ยวนำจะถูกเรียกว่า "กำลังดีสชาร์จ"

ตัวเหนี่ยวนำในอุดมคติและของจริง

ทางทฤษฏีวงจร หรือ ตัวเหนี่ยวนำในอุดมคติ คือการที่ตัวเหนี่ยวนำ ไม่มีความต้านทานหรือการเก็บประจุ และไม่กระจายหรือแผ่พลังงานความร้อน อย่างไรก็ตาม ตัวเหนี่ยวนำของจริงมี โดยการมีของตัวต้านทาหรือการเก็บประจุจะทำให้พฤติกรรมของมันต่างไปจากรูปแบบทางอุดมคติของ โดยหากมันมีความต้านทาน และ มีการเก็บประจุ (เนื่องจากหากมีความต้านทานของลวดพลังงานจะสูญเสียในทุกๆวัสดุที่เป็นแกน) , และที่มีการเก็บประจุ (เนื่องจากหากมีสนามไฟฟ้าระหว่างรอบของลวดจะส่งผลให้มีศักยภาพที่แตกต่างกันเล็กน้อยในแต่ละจุด) ที่ความถี่สูง การเก็บประจุเริ่มต้นจะส่งผลต่อพฤติกรรมของการเหนี่ยวนำ ที่ความถี่สูง การเก็บประจุเริ่มต้นที่จะส่งผลกระทบต่อพฤติกรรมของการเหนี่ยวนำ, ที่บางความถี่ ตัวเหนี่ยวนำจริงจะทำตัวเป็นวงจรเรโซแนนท์, กลายเป็นเรโซแนนท์ตัวเอง ที่สูงกว่าความถี่เรโซแนนท์ปฏิกิริยาของการเก็บประจุ(อังกฤษ: capacitive reactance) จะกลายเป็นส่วนหนึ่งของอิมพีแดนซ์ที่ครอบงำ ที่ความถี่ที่สูงกว่า การสูญเสียในตัวต้านทานในขดลวดจะเพิ่มขึ้นเนื่องจาก skin effect และ proximity effect

ตัวเหนี่ยวนำที่ใช้แกนเป็น ferromagnetic จะมีการสูญเสียพลังงานเพิ่มเติมจากการกระแส hysteresis และ กระแสไหลวน(อังกฤษ: eddy current) ในแกน ซึ่งจะเพิ่มตามความถี่ ที่ กระแสสูง ตัวเหนี่ยวนำแกนเหล็กยังแสดงให้เห็นการทยอยออกจากพฤติกรรมในอุดมคติเนื่องจากการไม่เป็นเชิงเส้นที่เกิดจากการอิ่มตัวแม่เหล็กของแกน ตัวเหนี่ยวนำอาจแผ่พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าในพื้นที่โดยรอบและในวงจร และอาจดูดซับการปล่อยแม่เหล็กไฟฟ้าจากวงจรอื่นๆ ก่อให้เกิดการรบกวนทางแม่เหล็กไฟฟ้า (อังกฤษ: electromagnetic interference) หรือ EMI การใช้งานตัวเหนี่ยวนำในโลกแห่งความเป็นจริงอาจจะพิจารณาพารามิเตอร์ปรสิตเหล่านี้ว่าเป็นสิ่งที่สำคัญเท่ากับค่าความเหนี่ยวนำ

การประยุกต์ใช้

ตัวเหนี่ยวนำแกนเหล็กสามเฟสขนาด 50 MVAR ที่กำลังโหลดที่สถานียูทิลิตี้เยอรมัน

choke "ลูกปัด"ทำจากเฟอร์ไรต์ประกอบด้วยขดลวดพันรอบเฟอร์ไรต์ทรงกระบอกใช้ถอดเสียงรบกวนอิเล็กทรอนิกส์ออกจากสายไฟคอมพิวเตอร์

ตัวอย่างของการกรองสัญญาณ การต่อวงจรแบบนี้ ตัวเหนี่ยวนำจะกั้นกระแส AC ออกขณะที่ปล่อยให้กระแส DC ผ่านไปได้

ตัวอย่างของการกรองสัญญาณ การต่อวงจรแบบนี้ ตัวเหนี่ยวนำจะถอดกระแส DC ออกขณะที่ปล่อยให้กระแส AC ผ่านไปได้

ตัวเหนี่ยวนำถูกใช้อย่างกว้างขวางในวงจรแอนะล็อกและการประมวลผลสัญญาณ ตัวเหนี่ยวนำร่วมกับตัวเก็บประจุรวมตัวเป็นวงจรจูนที่สามารถดักจับหรือกรองสัญญาณที่มีความถี่ที่เฉพาะเจาะจง ช่วงจากการใช้งานมีตั้งแต่ตัวเหนี่ยวนำขนาดใหญ่ในแหล่งจ่ายไฟ เมื่อทำงานร่วมกับตัวเก็บประจุกรอง จะสามารถถอดเสียงฮัมที่เรียกว่าเสียงฮัมจากสายไฟหรือจากความผันผวนของกระแสตรงเอาต์พุตที่ยังเหลือค้างอยู่ออก จนถึงตัวเหนี่ยวนำเล็กๆของลูกปัดหรือห่วงเฟอร์ไรต์ที่ติดตั้งรอบสายไฟเพื่อป้องกันการรบกวนจากความถี่วิทยุที่ถูกส่งมาจากสายไฟเมนส์ อีกตัวอย่างหนึ่งได้แก่วงจรผสมตัวเหนี่ยวนำ/ตัวเก็บประจุจะเป็นวงจรการจูนใช้ในการรับและส่งสัญญาณวิทยุ ตัวเหนี่ยวนำถูกใช้เป็นอุปกรณ์จัดเก็บพลังงานในแหล่งจ่ายไฟแบบ switched-mode หลายระบบเพื่อผลิตกระแส DC ตัวเหนี่ยวนำจะยังคงจ่ายพลังงานให้กับวงจรเพื่อให้กระแสไฟฟ้ายังไหลในระหว่างระยะเวลาที่สวิตช์ "ปิด"

ตัวเหนี่ยวนำสองชุด (หรือมากกว่า)ในบริเวณใกล้เคียงที่มีฟลักซ์แม่เหล็กดึงดูดถึงกัน (เหนี่ยวนำซึ่งกันและกัน)ทำตัวเป็นหม้อแปลงไฟฟ้า ซึ่งเป็นองค์ประกอบพื้นฐานหนึ่งของทุกๆกริด (ไฟฟ้า) ประสิทธิภาพของหม้อแปลงอาจลดลงตามการเพิ่มของความถี่เนื่องจากกระแสไหลวน ในวัสดุที่เป็นแกนและ skin effect บนขดลวด ขนาดของแกนสามารถถูกทำให้ลดลงได้ในความถี่ที่สูงขึ้น ด้วยเหตุนี้ เครื่องบินที่ใช้กระแสสลับ 400 เฮิรตซ์แทนที่จะใช้ความถี่ปกติที่ 50 หรือ 60 เฮิรตซ์ ช่วยให้ประหยัดได้อย่างมากในการรับน้ำหนักจากการใช้หม้อแปลงขนาดเล็ก

ตัวเหนี่ยวนำถูกนำมาใชัในระบบการส่งไฟฟ้า ที่มันจะถูกใช้เพื่อจำกัดกระแสที่สลับและกระแสผิดพลาด ในสาขานี้ มันมักจะถูกเรียกว่า reactor

เพราะว่า ตัวเหนี่ยวนำมีผลข้างเคียงที่มีความซับซ้อน (รายละเอียดด้านล่าง) ซึ่งทำให้มันมีพฤฒิกรรมที่ออกจากพฤติกรรมอุดมคติ เพราะมันสามารถแผ่การรบกวนแม่เหล็กไฟฟ้า (EMI) และที่มากที่สุด เพราะว่าความเป็นกลุ่มของพวกมันที่ป้องกันพวกมันไม่ให้ถูกบรรจุลงบนชิปเซมิคอนดักเตอร์ การใช้ตัวเหนี่ยวนำกำลังลดลงในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ทันสมัย โดยเฉพาะอย่างยิ่งอุปกรณ์พกพาขนาดเล็ก ตัวเหนี่ยวนำจริงกำลังถูกแทนที่เพิ่มมากขึ้นด้วยวงจรแอคทีฟ เช่น gyrator ที่สามารถสังเคราะห์การเหนี่ยวนำโดยใช้ตัวเก็บประจุ

โครงสร้างตัวเหนี่ยวนำ

ตัวเหนี่ยวนำแกนเฟอร์ไรต์กับสองขดลวดขนาด 20mH

ตัวเหนี่ยวนำมักจะประกอบด้วยคอยล์ของวัสดุตัวนำ ทั่วไปจะเป็นลวดทองแดงหุ้มฉนวน พันรอบแกนที่ทำจากพลาสติกหรือวัสดุ ferromagnetic (หรือ ferrimagnetic ); วัสดุที่ทำจากวัสดุ ferromagnetic เรียกว่าตัวเหนี่ยวนำ"แกนเหล็ก" การซึมผ่านสูงของแกน ferromagnetic จะเพิ่ม สนามแม่เหล็กที่วนเวียนใกล้ชิดกับตัวเหนี่ยวนำ ซึ่งจะเพิ่มค่าการเหนี่ยวนำ ตัวเหนี่ยวนำความถี่ต่ำจะถูกสร้างเหมือนหม้อแปลงไฟฟ้า ที่มีแกนเป็นเหล็กชั้นบางๆเพื่อป้องกันกระแสไหลวน เฟอร์ไรท์แบบ'นุ่ม'จะถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในแกนความถี่เหนือเสียงออดิโอ เนื่องจากพวกมันไม่ก่อให้เกิดการสูญเสียพลังงานขนาดใหญ่ความถี่สูงที่จะเกิดในเหล็กผสมธรรมดา ตัวเหนี่ยวนำมาในรูปทรงหลายรูปแบบ ส่วนใหญ่จะถูกสร้างเป็นลวดเคลือบผิวหน้า(ลวดแม่เหล็ก) พันรอบกระสวยเฟอร์ไรต์ที่มีลวดโผล่ออกมาด้านนอก ขณะที่บางตัวคลุมลวดอย่างมิดชิดในเฟอร์ไรต์และถูกเรียกว่าเป็น "เกราะ" ตัวเหนี่ยวนำบางตัวมีแกนปรับได้ ซึ่งช่วยให้สามารถเปลี่ยนแปลง ค่าการเหนี่ยวนำได้ ตัวเหนี่ยวนำที่ใช้เพื่อกั้นความถี่สูงมากบางครั้งถูกทำโดยร้อยลูกปัดเฟอร์ไรต์ บนเส้นลวด

ตัวเหนี่ยวนำขนาดเล็กสามารถถูกฝังโดยตรงลงบนแผงวงจรพิมพ์โดยการวางร่องรอยเป็นรูปเกลียว บางตัวเหนี่ยวนำแบบราบดังกล่าวใช้แกนระนาบ

ตัวเหนี่ยวนำค่าขนาดเล็กยังสามารถถูกสร้างบนแผงวงจรรวมโดยใช้กระบวนการเดียวกับที่ใช้ในการทำทรานซิสเตอร์ ทั่วไปจะใช้การเชื่อมต่อระหว่างกันด้วยอะลูมิเนียมโดยจะวางในรูปแบบ ม้วนเป็นเกลียว อย่างไรก็ตาม ขนาดที่เล็กจะจำกัดค่าการเหนี่ยวนำและเป็นที่พบบ่อยมากๆในการใช้วงจรที่เรียกว่า "gyrator" ที่ใช้ตัวเก็บประจุและชิ้นส่วนที่แอคทีฟเพื่อทำตัวคล้ายกับตัวเหนี่ยวนำ

ประเภทของตัวเหนี่ยวนำ

ตัวเหนี่ยวนำแกนอากาศ

หม้อแปลงสั่นเกลียวดับเบิลสำหรับเครื่องส่งสัญญาณช่องว่างจุดประกาย(อังกฤษ: spark gap transmitter) หม้อแปลงประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำสองขดลวดเกลียว ตัวเหนี่ยวนำภายในจะถูกเคลื่อนย้ายเพื่อปรับการเหนี่ยวนำร่วมกันระหว่างสองขดลวด

คำว่าคอยล์แกนอากาศอธิบายตัวเหนี่ยวนำที่ไม่ได้ใช้แกนแม่เหล็กที่ทำจากวัสดุ ferromagnetic คำนี้หมายถึงคอยล์ที่พันบนพลาสติก, เซรามิกหรือรูปแบบอื่นๆของวัสดุ nonmagnetic เช่นเดียวกับพวกที่มีเพียงอากาศภายในขดลวด แกนอากาศมีค่าการเหนี่ยวนำต่ำกว่าคอยล์แกน ferromagnetic แต่มักจะถูกนำมาใช้กับความถี่สูงเพราะพวกมันมีอิสระจากการสูญเสียพลังงาน ที่เรียกว่า core losse ที่เกิดขึ้นในแกน ferromagnetic ซึ่งเพิ่มขึ้นตามความถี่ ผลข้างเคียงที่อาจเกิดขึ้นในคอยล์แกนอากาศในที่ซึ่งขดลวดไม่ได้รับการยึดติดอย่างเหนียวแน่นในแบบที่เป็น ' microphony ': หมายถึงการสั่นสะเทือนทางกลของขดลวดสามารถทำให้เกิดการ เปลี่ยนแปลงในการเหนี่ยวนำ

ตัวเหนี่ยวนำความถี่วิทยุ

คอลเลกชันของตัวเหนี่ยวนำ RF, แสดง เทคนิคในการลดการสูญเสีย สามตัวด้านบนขวาและ loopstick เฟอร์ไรท์หรือแท่งเสาอากาศ เฟอร์ไรต์ ด้านล่างมีขดลวดแบบตะกร้า

ที่ความถี่สูง โดยเฉพาะอย่างยิ่งความถี่วิทยุ (RF), ตัวเหนี่ยวนำมีความต้านทานและการสูญเสีย อื่นๆสูงกว่า นอกเหนือจากทำให้เกิดการสูญเสียพลังงานแล้ว ในวงจรเรโซแนนท์ สิ่งนี้สามารถลด Q facter ของวงจร เป็นการขยายแบนด์วิดธ์ ในตัวเหนี่ยวนำ RF ซึ่งส่วนใหญ่เป็นประเภทแกนอากาศ ต้องใช้เทคนิคการก่อสร้างอย่างเชี่ยวชาญเพื่อลดการสูญเสียเหล่านี้ ความสูญเสียจะเกิดจากผลกระทบต่อไปนี้

Skin effect: ความต้านทานของลวดที่มีต่อกระแสความถี่สูงจะสูงกว่าความต้านทานที่มีต่อกระแสไฟฟ้าตรง เพราะ skin effect กระแสสลับที่ความถี่วิทยุไม่ได้เจาะลึกเข้าสู่ภายในร่างกายของตัวนำแต่เดินทางไปตามพื้นผิวของมัน ดังนั้น ในลวดแข็ง พื้นที่ตัดขวางส่วนใหญ่ของเส้นลวดจะไม่ได้ถูกใช้ในการนำกระแส นอกจากจะวิ่งอยู่ในห่วงแคบบนพื้นผิว ผลกระทบนี้จะเพิ่มความต้านทานของเส้นลวดในคอยล์ ซึ่งอาจมีความต้านทานค่อนข้างสูงอยู่แล้วอันเนื่องมาจากความยาวและเส้นผ่าศูนย์กลางขนาดเล็กของมัน
Proximity effect: อีกผลที่คล้ายกันที่ยังเพิ่มความต้านทานของลวดที่มีความถี่สูงคือ proximity effect ซึ่งเกิดขึ้นในสายลวดคู่ขนานที่อยู่ใกล้กัน สนามแม่เหล็กของแต่ละขดลวดที่อยู่ติดกันจะเหนี่ยวนำให้เกิด eddy current ในขดลวดของคอยล์ ซึ่งทำให้กระแสในตัวนำที่จะ กระจุกตัวอยู่ในแถบบางๆบนด้านที่อยู่ใกล้สายไฟที่อยู่ใกล้เคียง เหมือนกับ skin effect สิ่งนี้จะลดพื้นที่หน้าตัดที่มีประสิทธิภาพของสายไฟในการนำกระแส หรือเป็นการเพิ่มความต้านทานของมัน

คอยล์ที่มีขดลวดสานกันแบบเพชรสำหรับวิทยุ คริสตัล

คอยล์ RF ลูกปืนเฟอร์ไรต์ปรับได้โดยใช้ขดลวดด้านข้าง หรือการพันแบบคลื่นและลวด litz

Parasitic capacitance : การเก็บประจุระหว่างลวดแต่ละรอบของขดลวดของคอยล์เรียกว่า parasitic capacitance มันไม่ก่อให้เกิดการสูญเสียพลังงาน แต่สามารถเปลี่ยนพฤติกรรมของคอยล์ แต่ละรอบของขดลวดมีศักย์ไฟฟ้าที่แตกต่างกันเล็กน้อย ดังนั้น สนามไฟฟ้าระหว่างรอบที่อยู่ใกล้กันจะเก็บประจุในสายลวด ดังนั้น คอยล์จะทำหน้าที่เหมือนกับว่ามันมีตัวเก็บประจุตัวหนึ่งขนานอยู่กับมัน ที่ความถี่สูงพอ ค่าตัวเก็บประจุนี้จะรีโซแนนท์กับค่าเหนี่ยวนำของขดลวด เกิดเป็นวงจรจูน ทำให้คอยล์กลายเป็น self-resonant

เพื่อลด parasitic capacitance และ proximity effect, คอยล์ RF ถูกสร้างเพื่อหลีกเลี่ยงการมีขดลวดหลายๆรอบที่จะวางใกล้กันหรือขนานกัน การพันขดลวดของคอยล์ RF มักจะถูกจำกัดให้อยู่ในชั้นเดียวและรอบของขดลวดจะมีระยะที่ห่างออกจากกัน เพื่อลดความต้านทาน เนื่องจาก skin effect, ในตัวเหนี่ยวนำกำลังงานสูงเช่นที่ใช้ในการส่งพลังงาน การพันลวดบางครั้งถูกทำจากแถบหรือท่อโลหะซึ่งมีพื้นที่ผิวขนาดใหญ่ขึ้นและพื้นผิวถูกชุบด้วยเงิน

ขดลวดสานแบบตะกร้า: เพื่อ proximity effect และ parasitic capacitance คอยล์ RF หลายชั้นถูกพันในรูปแบบรอบที่ต่อเนื่องจะไม่ขนานกัน แต่สลับกันไปมา การทำแบบนี้มักจะถูกเรียกว่า คอยล์รังผึ้งหรือคอยล์สานแบบตะกร้า พวกมันมักจะถูกพันบนฐานแนวตั้งฉนวนด้วยเดีอยหรือ ช่องที่มีลวดสานเข้าออกผ่านช่องนั้น; ปกติจะเป็นข้างบนหนึ่งข้างล่างหนึ่งหรือข้างบนหนึ่งข้างล่างสอง การทำแบบนี้จะถูกเรียกว่าคอยล์สานแบบตะกร้า รูปแบบจะมีจำนวนช่องเป็นเลขคี่ ดังนั้นรอบของขดลวดที่ต่อเนื่องกันจะถูกวางอยู่บนด้านตรงข้ามของรูปแบบ เป็นการเพิ่มการแยกออกจากกัน
คอยล์ใยแมงมุม: เทคนิคการก่อสร้างอีกอย่างหนึ่งที่มีข้อได้เปรียบที่คล้ายกันคือคอยล์รูปเกลียวแบน พวกมันมักถูกพันบนฐานฉนวนที่แบนและมีซี่ลวดหรือช่องรัศมีกับการทอเส้นลวดเข้าและออกผ่านช่องเหล่านี้ สิ่งนี้จะถูกเรียกว่าคอยล์ใยแมงมุม รูปแบบมีจำนวนช่องเป็นเลขคี่ ดังนั้นรอบที่ต่อเนื่องกันจะถูกวางอยู่ด้านตรงข้ามของรูปแบบและเป็นการเพิ่มการแยกออกจากกัน
ลวด Litz : เพื่อลดความสูญเสียจาก skin effect, บางคอยล์ถูกพันด้วยสายไฟ RF ชนิดพิเศษที่เรียกว่า ลวด litz แทนที่จะเป็นตัวนำเดี่ยวแข็ง ลวด litz ประกอบด้วยหลายเส้นลวดถักขนาดเล็กที่นำกระแส ไม่เหมือนลวดถักทั่วไป ลวดถักแบบนี้เป็นฉนวนซึ่งกันและกัน เพื่อป้องกัน skin effect จากการบังคับกระแสไม่ให้ไปที่ผิวและถูกบิดเข้าด้วยกัน รูปแบบการบิดก็เพื่อให้แน่ใจว่า แต่ละเส้นลวดที่ถักจะใช้ความยาวเท่ากันที่ด้านนอกของมัดขดลวดเพื่อให้ skin effect กระจายกระแสอย่างเท่าเทียมกันระหว่างเส้นถัก ซึ่งมีผลให้พื้นที่หน้าตัดในการนำกระแสใหญ่กว่าลวดสายเดี่ยวที่มีขนาดเท่ากัน

ตัวเหนี่ยวนำแกน ferromagnetic

ความหลากหลายของประเภทของตัวเหนี่ยวนำและหม้อแปลงแกนเฟอร์ไรต์

ตัวเหนี่ยวนำแกน ferromagnetic หรือแกนเหล็กใช้แกนแม่เหล็กที่ทำจากวัสดุ ferromagnetic หรือ ferrimagnetic เช่นเหล็กหรือเฟอร์ไรต์เพื่อเพิ่มการเหนี่ยวนำ แกนแม่เหล็กสามารถเพิ่มการเหนี่ยวนำของคอยล์หลายพันเท่าโดยการเพิ่มสนามแม่เหล็กเนื่องจากการซึมผ่านแม่เหล็กมีค่าสูง อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติของแม่เหล็กของวัสดุแกนทำให้เกิดผลข้างเคียงหลายประการที่ เปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของตัวเหนี่ยวนำและต้องการสร้างขึ้นเป็นพิเศษได้แก่

Core losses: กระแสที่แปรตามเวลาในตัวเหนี่ยวนำ ferromagnetic ที่ทำให้เกิดสนามแม่เหล็ก ที่แปรตามเวลาในแกนของมัน ทำให้เกิดการสูญเสียพลังงานในวัสดุแกนที่มีการกระจายความร้อนเนื่องจากสองกระบวนการนี้:
- Eddy currents: จากกฎของการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ การเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กสามารถเหนี่ยวนำให้เกิดการไหลเวียนของกระแสไฟฟ้าในแกนโลหะนำไฟฟ้า พลังงานในกระแส เหล่านี้จะกระจายไปเป็นความร้อนในความต้านทานของวัสดุแกน ปริมาณของพลังงานที่หายไปจะเพิ่มขึ้นตามพื้นที่ในวงของกระแส
- hysteresis : การเปลี่ยนหรือการย้อนกลับของสนามแม่เหล็กในแกนกลางยังทำให้เกิดการสูญเสียอันเนื่องมาจากการเคลื่อนไหวของโดเมนแม่เหล็กเล็กๆที่มันถูกประกอบขึ้น การสูญเสียพลังงานจะเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของห่วง hysteresis ในกราฟ BH ของวัสดุแกน วัสดุที่มี coercivity ต่ำ มีลูป hysteresis แคบและเลยทำให้การสูญเสีย hysteresis ต่ำ

สำหรับทั้งสองกระบวนการนี้ พลังงานสูญเสียต่อรอบของกระแสสลับเป็นค่าคงที่ ดังนั้นการสูญเสียที่แกนจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงกับความถี่ การคำนวณ core loss แบบออนไลน์ใช้ในการคำนวณการสูญเสียพลังงาน การใช้อินพุทเช่นแรงดันอินพุท, แรงดันเอาต์พุต, กระแสเอาต์พุต, ความถี่, อุณหภูมิแวดล้อมและการเหนี่ยวนำ เครื่องคิดเลขเหล่านี้สามารถทำนายการสูญเสียของแกนของตัวเหนี่ยวนำและ AC/DC ขึ้นอยู่กับสภาพการใช้งานของวงจรที่กำลังถูกใช้

การไม่เป็นเชิงเส้น: ถ้ากระแสผ่านคอยล์แกน ferromagnetic มีขนาดสูงพอที่แกนแม่เหล็กอิ่มตัว การเหนี่ยวนำจะไม่รักษาความคงที่ แต่จะเปลี่ยนไปตามกระแสที่ผ่านอุปกรณ์ สิ่งนี้เรียกว่าความไม่เป็นเชิงเส้น และเป็นผลในการบิดเบือนของสัญญาณ ตัวอย่างเช่น สัญญาณเสียงออดิโอ สามารถประสบความลำบากเนื่องจากการบิดเบือนแบบ intermodulation ในตัวเหนี่ยวนำที่อิ่มตัว เพื่อป้องกันการนี้ ในวงจรเชิงเส้น กระแสผ่านตัวเหนี่ยวนแกนเหล็กจะต้องถูกจำกัดให้ต่ำกว่าระดับความอิ่มตัว บางแกนแผ่นบางซ้อนกันมีช่องว่างอากาศแคบเพื่อจุดประสงค์นี้ และแกนเหล็กผงจะมีช่องว่างอากาศกระจาย สิ่งนี้จะช่วยให้ระดับของฟลักซ์แม่เหล็กสูงขึ้นและกระแสผ่านการเหนี่ยวนำจึงสูงขึ้นด้วยก่อนที่มันจะ saturates

ตัวเหนี่ยวนำแกนแผ่นบางซ้อนกัน

ตัวเหนี่ยวนำบัลลาสต์แกนเหล็กแผ่นบางซ้อนกัน สำหรับโคมไฟโลหะฮาไลด์

ตัวเหนี่ยวนำความถี่ต่ำมักจะถูกทำขึ้นด้วยแกนแผ่นบางซ้อนกันเพื่อป้องกัน eddy cuurent โดยใช้การสร้างคล้ายกับหม้อแปลง แกนถูกทำจากชั้นเหล็กแผ่นบางหรือ laminations วางให้ขนานไปกับสนามแม่เหล็ก กับการเคลือบฉนวนบนผิวหน้า ฉนวนจะป้องกัน eddy current ระหว่างแผ่นบางด้วยกัน ดังนั้นกระแสที่เหลืออยู่จะต้องอยู่ในพื้นที่ตัดขวางของแต่ละแผ่นบางๆนั้น เป็นการลดพื้นที่ของวงและทำให้ลดการสูญเสียพลังงานอย่างมาก laminations ถูกทำจากเหล็ก ซิลิกอนที่มี coercivity ต่ำเพื่อลดการสูญเสีย hysteresis

ตัวเหนี่ยวนำแกนเฟอร์ไรท์

สำหรับความถี่สูง แกนของตัวเหนี่ยวนำจะทำด้วยเฟอร์ไรต์ เฟอร์ไรท์เป็นวัสดุ ferrimagnetic เซรามิกที่ไม่นำไฟฟ้า, ดังนั้น eddy current จึงไม่สามารถไหลอยู่ภายใน สูตรของเฟอร์ไรต์เป็น xxFe₂O₄ เมื่อ xx แทนโลหะชนิดต่างๆ สำหรับแกนของตัวเหนี่ยวนำจะใช้แม่เหล็กอ่อน ซึ่งมี coercivity ต่ำและการสูญเสีย hysteresis ต่ำ วัสดุอื่นที่คล้ายกันคือผงเหล็กที่ถูกยึดด้วยสารยึดเกาะ

ตัวเหนี่ยวนำแกน Toroid

บทความหลัก: ตัวเหนี่ยวนำและหม้อแปลง Toroid

ตัวเหนี่ยวนำแบบ Toroid ในแหล่งจ่ายไฟของเราเตอร์ไร้สาย

ในตัวเหนี่ยวนำที่พันสายตัวนำบนแกนรูปแท่งตรง เส้นสนามแม่เหล็กที่เกิดขึ้นจากปลายด้านหนึ่ง ของแกนจะต้องผ่านอากาศก่อนที่จะเข้าสู่แกนที่ปลายอีกด้านหนึ่ง ซึ่งจะช่วยลดสนาม เพราะเส้นทางสนามแม่เหล็กอยู่ในอากาศมากกว่าวัสดุแกนที่มีการซึมผ่านสูงกว่า สนามแม่เหล็กและค่าความเหนี่ยวนำที่สูงกว่าสามารถทำสำเรํจได้โดยการสร้างรูปแกนในวงจรแม่เหล็กปิด เส้นสนามแม่เหล็กสร้างรูปแบบ closed loops ภายในแกนโดยไม่ต้องออกจากวัสดุแกน รูปร่างที่มักจะถูกใช้คือแกนเฟอร์ไรท์แบบ toroid หรือแบบโดนัท เพราะความสมมาตรของมัน แกนแบบ toroid ยอมให้ขนาดต่ำสุดของฟลักซ์แม่เหล็กสามารถหลบหนีออกไปข้างนอกแกน(เรียกว่าฟลักซ์รั่ว) ดังนั้นมันจึงแผ่การรบกวนแม่เหล็กไฟฟ้าน้อยกว่ารูปทรงอื่นๆ คอยล์ที่มีแกน Toroid ถูกผลิตจากวัสดุต่างๆ โดยมีเฟอร์ไรต์, เหล็กผงและแกนแผ่นบางซ้อนเป็นหลัก

Choke

บทความหลัก: โช๊ค (อิเล็กทรอนิกส์)

โช๊ควิทยุ MF หรือ HF ขนาดหนึ่งส่วนสิบแอมแปร์และโช๊ค RF แบบลูกปัดเฟอร์ไรต์ขนาดหลายแอมแปร์

โช๊คถูกออกแบบโดยเฉพาะสำหรับการปิดกั้นไฟฟ้ากระแสสลับ (AC) ความถี่สูงในวงจรไฟฟ้า ขณะที่ยอมให้ความถี่ที่ต่ำกว่าหรือกระแส DC สามารถผ่านไปได้ มันมักจะประกอบด้วยคอยล์ที่มีขดลวดฉนวนพันบนแกนแม่เหล็ก แม้ว่าบางตัวจะประกอบด้วย"ลูกปัด"รูปโดนัททำจากวัสดุเฟอร์ไรต์ร้อยในเส้นลวด เช่นเดียวกับตัวเหนี่ยวนำอื่นๆ โช๊คต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของกระแสที่ไหลผ่านตัวมันและกระแสสลับความถี่ที่สูงกว่าที่กลับทิศทางอย่างรวดเร็วจะถูกต่อต้านมากกว่ากระแส ความถี่ต่ำกว่า อิมพีแดนซ์ของโช๊คจะเพิ่มขึ้นตามความถี่ ค่าความต้านทานไฟฟ้าที่ต่ำของมันยอมให้ทั้ง AC และ DC สามารถผ่านไปได้ด้วยการสูญเสียพลังงานที่น้อย แต่มันก็สามารถจำกัดปริมาณของ AC ที่ผ่านมันเนื่องจากค่า reactance ของมัน

ตัวเหนี่ยวนำแปรค่าได้

(ซ้าย) ตัวเหนี่ยวนำที่มีแกนแบบกระสุนเกลียวเฟอร์ไรต์ (มองเห็นได้ด้านบน) ที่สามารถหมุนเพื่อเลื่อนเข้าหรือออกจากคอยล์ สูง 4.2 ซม. (ขวา) variometer ที่ใช้ในเครื่องรับวิทยุในช่วงปี ค.ศ. 1920s]]

"คอยล์ลูกกลิ้ง" ตัวเหนี่ยวนำ RF แกนอากาศปรับได้ ที่ใช้ในวงจรปรับจูนความถี่ของเครื่องส่งสัญญาณวิทยุ หนึ่งในหน้าสัมผัสกับคอยล์จะถูกทำขึ้นโดยล้อที่มีร่อง ขนาดเล็กซึ่งขี่ไปบนเส้นลวด การหมุนเพลาจะกวาดไปบนคอยล์ เป็นการเคลื่อนล้อหน้าสัมผ้สขึ้นหรือลงบนตัวคอยล์ เป็นการป้อนจำนวนรอบของขดลวดมากขึ้นหรือน้อยลงให้กับวงจร เพื่อเปลี่ยนค่าการเหนี่ยวนำ

บางที ชนิดที่น่าจะพบมากที่สุดของตัวเหนี่ยวนำแปรค่าในวันนี้คือ ตัวที่มีแกนแม่เหล็กเฟอร์ไรต์ เคลื่อนที่ได้ ซึ่งสามารถเลื่อนเข้าหรือออกจากคอยล์ได้ การเคลื่อนแกนให้ไกลออกไปเข้าไปในคอยล์ เป็นการเพิ่มการซึมผ่าน ก็เป็นการเพิ่มสนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ ตัวเหนี่ยวนำจำนวนมากที่ใช้ในงานวิทยุ (โดยปกติจะน้อยกว่า100 MHz) จะใช้แกนที่ปรับได้เพื่อที่จะปรับตัวเหนี่ยวนำดังกล่าวไปยังค่าที่ต้องการเนื่องจากกระบวนการผลิตที่มีความคลาดเคลื่อนบางอย่าง (ไม่แม่นยำ) บางครั้งแกนดังกล่าวข้างต้นสำหรับความถี่มากกว่า 100 MHz ถูกทำจากวัสดุนำไฟฟ้าสูงที่ไม่ใช่แม่เหล็กเช่น อะลูมิเนียม เพื่อลดการเหนี่ยวนำเพราะสนามแม่เหล็กจะหลบหลีกวัสดุนี้

ตัวเหนี่ยวนำแกนอากาศสามารถใช้หน้าสัมผัสเลื่อนได้หรือมีหลายจุดแยกที่เรียกว่าแทป(อังกฤษ: tap)เพื่อเพิ่มหรือลดจำนวนรอบ ที่รวมอยู่ในวงจรเพื่อเปลี่ยนการเหนี่ยวนำ ประเภทที่ใช้มากในอดีต แต่ล้าสมัยส่วนใหญ่ในวันนี้มีหน้าสัมผัสเป็นสปริงที่สามารถเลื่อนไปตามพื้นผิวเปลือยของเส้นลวด ข้อเสียของประเภทนี้คือ หน้าสัมผัสมักจะลัดวงจรหนึ่งหรือมากกว่าหนึ่งรอบ รอบเหล่านี้ทำหน้าที่เหมือนขดลวดทุติยภูมิของหม้อแปลงไฟฟ้าที่ลัดวงจรรอบเดียว กระแสขนาดใหญ่ที่เหนี่ยวนำในตัวมันทำให้เกิดการสูญเสียพลังงานจำนวนมาก

ชนิดของตัวต้านทานแกนอากาศที่แปรอย่างต่อเนื่องคือ variometer ประกอบด้วยสองคอยล์ที่มี จำนวนรอบเท่ากันต่อถึงกันแบบอนุกรม คอยล์หนึ่งอยู่ภายในอีกคอยล์หนึ่ง คอยล์ที่อยู่ข้างในถูกติดตั้งอยู่บนเพลาเพื่อให้แกนของมันสามารถถูกหมุนตามคอยล์ที่อยู่ด้านนอก เมื่อแกนของทั้งสองคอยล์เป็นเส้นตรงเดียวกัน ที่มีสนามแม่เหล็กชี้ไปในทิศทางเดียวกัน สนามทั้งสองจะรวมกันและการเหนี่ยวนำจะขึ้นสูงสุด เมื่อคอยล์ด้านในถูกจูนเพื่อให้แกนของมันอยู่ที่มุมหนึ่งกับคอยล์ด้านนอก, การเหนี่ยวนำร่วมกันระหว่างพวกมันมีขนาดเล็ก ทำให้การเหนี่ยวนำรวมมีค่าน้อย เมื่อ คอยล์ภายในถูกหมุน 180° ดังนั้น คอยล์ทั้งสองจะ collinear กับสนามแม่เหล็กของพวกมันเป็นด้านตรงข้าม ทั้งสองสนามหักล้างกันและกันและการเหนี่ยวนำมีขนาดเล็กมาก ประเภทนี้มีข้อได้เปรียบที่มันเป็นตัวแปรอย่างต่อเนื่องในช่วงกว้าง มันถูกใช้ในตัวจูนเสาอากาศและวงจรแมทชิ่ง เพื่อแมทช์เครื่องส่งสัญญาณความถี่ต่ำกับเสาอากาศของพวกมัน

วิธีการอื่นเพื่อควบคุมการเหนี่ยวนำโดยไม่ต้องชิ้นส่วนที่เคลื่อนไหวใดๆต้องการขดลวดไบอัส กระแส DC เพิ่มเติมซึ่งควบคุมการซึมผ่านของวัสดุแกนที่สามารถอิ่มตัวได้อย่างง่ายดาย ดูตัวขยายสัญญาณแบบแม่เหล็ก

ทฤษฎีวงจร

ผลของตัวเหนี่ยวนำในวงจรคือการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงในกระแสที่ไหลผ่านตัวมันโดยการสร้างแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวมันเป็นสัดส่วนกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของกระแส ตัวเหนี่ยวนำในอุดมคติจะมีความต้านทานเป็นศูนย์สำหรับกระแสตรงคงที่ อย่างไรก็ตาม ตัวเหนี่ยวนำที่ใช้ตัวนำยิ่งยวดเท่านั้นที่มีความต้านทานไฟฟ้าเป็นศูนย์อย่างแท้จริง

ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดัน v (t)ที่แปรตามเวลาคร่อมตัวเหนี่ยวนำที่มีค่าการเหนี่ยวนำ L และกระแส i(t)ที่แปรตามเวลาที่ไหลผ่านตัวมัน ถูกอธิบายโดย สมการเชิงอนุพันธ์(อังกฤษ: differential equation) ดังนี้:

v(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}

เมื่อมีกระแสสลับ (AC) รูปซายน์ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ, แรงดันรูปซายน์จะถูกเหนี่ยวนำ แอมพลิจูดของแรงดันไฟฟ้าจะเป็นสัดส่วนกับผลิตภัณฑ์ของแอมพลิจูด (I_P) ของกระแส และความถี่(f) ของกระแส

{\begin{aligned}i(t)&=I_{\mathrm {P} }\sin(2\pi ft)\\{\frac {di(t)}{dt}}&=2\pi fI_{\mathrm {P} }\cos(2\pi ft)\\v(t)&=2\pi fLI_{\mathrm {P} }\cos(2\pi ft)\end{aligned}}

ในสถานการณ์เช่นนี้ เฟสของกระแสที่ล่าช้ากว่าเฟสของแรงดันไฟฟ้าอยู่ π/2 (90°) นั่นคือ สำหรับคลื่นรูปซายน์ เมื่อแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำวิ่งขึ้นไปสู่ค่าสูงสุดของมัน กระแสจะตกลงเหลือศุนย์ และเมื่อแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวเหนี่ยวนตกลงไปที่ศูนย์ กระแสที่ไหลผ่านตัวมันจะขึ้น ไปที่ค่าสูงสุด

ถ้าตัวเหนี่ยวนำเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายกระแสตรงที่มีค่า I ผ่านตัวต้านทาน Rนั้น' จากนั้นแหล่งกระแสเกิดลัดวงจร, ความสัมพันธ์แบบ differential ข้างต้นจะแสดงว่ากระแสผ่านตัวเหนี่ยวนำจะดีสชาร์จด้วยการสลายตัวแบบ exponential ดังนี้ :

i(t)=Ie^{-{\frac {R}{L}}t}

รีแอคแตนซ์ตัวเหนี่ยวนำ

อัตราส่วนของแรงดันไฟฟ้าสูงสุดต่อกรแสศูงสุดในตัวเหนี่ยวนำที่ได้พลังจากแหล่งจ่ายไฟแบบซายน์จะถูกเรียกว่า reactance และมีสัญลักษณ์ว่า X_L คำต่อท้าย L คือการแยกความแตกต่างของรีแอคแตนซ์ของตัวเหนี่ยวนำ จาก reactance ของตัวเก็บประจุที่มีสัญลักษณ์ว่า X_C

X_{\mathrm {L} }={\frac {V_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}={\frac {2\pi fLI_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}

ดังนั้น

X_{\mathrm {L} }=2\pi fL

รีแอคแตนซ์ถูกวัดในหน่วยเดียวกันกับค่าความต้านทาน (โอห์ม) แต่มันไม่ใช่ความต้านทานจริง ความต้านทานจะกระจายพลังงานความร้อนเมื่อมีกระแสไหลผ่าน สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับตัวเหนี่ยวนำ; สิ่งที่เกิดขึ้นคือ พลังงานจะถูกเก็บไว้ในสนามแม่เหล็กที่กระแสสร้างให้ และต่อมาถูกจ่ายกลับไปยังวงจรเมื่อกระแสลดลง reactance ของตัวเหนี่ยวนำจะขึ้นอยู่กับความถี่อย่างยิ่ง ที่ความถี่ต่ำ reactance จะมีค่าน้อย และสำหรับกระแสคงที่(ความถี่ศูนย์) ตัวเหนี่ยวนำจะทำงานเป็นลัดวงจร ในทางตรงกันข้าม เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น reactanceอจะเพิ่มขึ้นด้วย และที่ความถี่ที่สูงพอ ตัวเหนี่ยวนำจะวิ่งเข้าสู่วงจรเปิด

การวิเคราะห์วงจรของลาปลาซ (s-โดเมน)

เมื่อใช้การแปลงลาปลาซในการวิเคราะห์วงจร อืมพีแดนซ์ของตัวเหนี่ยวนำในอุดมคติที่กระแสเริ่มต้นเป็นศูนย์จะถูกแทนค่าใน s-โดเมนดังนี้:

Z(s)=Ls\,

เมื่อ

$L$ เป็นค่าการเหนี่ยวนำ, และ

$s$ เป็นความถี่ที่ซับซ้อน.

ถ้าตัวเหนี่ยวนำมีกระแสเริ่มต้นจริง มันจะสามารถแสดงโดย :

การเพิ่มแหล่งที่มาของแรงดันไฟฟ้าที่ต่ออนุกรมกับตัวเหนี่ยวนำ ทำให้มีค่า:

LI_{0}\,

เมื่อ

$L$ เป็นค่าการเหนี่ยวนำ และ

$I_{0}$ เป็นกระแสเริ่มต้นในตัวเหนี่ยวนำ

(โปรดสังเกตว่า แหล่งที่มาควรจะมีขั้ว(+หรือ-)ที่สอดคล้องกับกระแสเริ่มต้น)

หรือ โดยการเพิ่มแหล่งที่มาของกระแสที่ขนานกับตัวเหนี่ยวนำ ทำให้มีค่า:

{\frac {I_{0}}{s}}

เมื่อ

$I_{0}$ เป็นกระแสเริ่มต้นในตัวเหนี่ยวนำ

$s$ เป็นความถี่ที่ซับซ้อน.

เครือข่ายตัวเหนี่ยวนำ

บทความหลัก: Series and parallel circuits

ตัวเหนี่ยวนำในวงจรขนานแต่ละตัวมีความต่างศักย์(แรงดัน)เท่ากัน เพื่อหาการเหนี่ยวนำเทียบเท่า รวมของพวกมัน (L_eq):

{\frac {1}{L_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{L_{n}}}

กระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำแต่ละที่ต่อแบบอนุกรมจะเป็นจำนวนเดียวกัน แต่แรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมบนตัวเหนี่ยวนำแต่ละตัวจะแตกต่างกัน ผลรวมของความต่างศักย์ (แรงดัน)จะมีค่าเท่ากับ แรงดันไฟฟ้ารวม เพื่อหาการเหนี่ยวนำรวมของพวกมันทั้งหมด:

L_{\mathrm {eq} }=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}\,\!

ความสัมพันธ์ง่ายๆเหล่านี้จะเป็นจริงเมื่อไม่มีเกี่ยวพันซึ่งกันและกันของสนามแม่เหล็กที่เกิดขึ้นของแต่ละตัวเหนี่ยวนำเท่านั้น

พลังงานที่ถูกเก็บไว้

ถ้าไม่นำการสูญเสียมาพิจารณา พลังงาน(ถูกวัดเป็นค่า จูลส์ ในหน่วย SI) ที่ถูกเก็บไว้ในตัวเหนี่ยวนำจะมีค่าเท่ากับ ปริมาณของงานที่จำเป็นในการสร้างกระแสผ่านตัวเหนี่ยวนำ, และทำให้เกิดสนามแม่เหล็ก สนามนี้สามารถหาได้จาก:

E_{\mathrm {stored} }={1 \over 2}LI^{2}

โดยที่ L คือค่าตัวเหนี่ยวนำและ I เป็นกระแสผ่านตัวเหนี่ยวนำ

ความสัมพันธ์นี้จะใชได้ก็ต่อเมื่อเป็นความสัมพันธ์ระหว่างภูมิภาคเชิงเส้น (ไม่อิ่มตัว) ของการเชื่อมโยงฟล้กซ์แม่เหล็กและกระแสเท่านั้น โดยทั่วไป ถ้าเราตัดสินใจที่จะหาพลังงานที่เก็บไว้ในตัวเหนี่ยวนำแบบ LTI ที่มีกระแสเริ่มต้นในเวลาที่กำหนดระหว่าง $t_{0}$ และ $t_{1}$ สามารถใช้สมการนี้:

E=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\!P(t)\,dt={\frac {1}{2}}LI(t_{1})^{2}-{\frac {1}{2}}LI(t_{0})^{2}

ปัจจัยคุณภาพ

ตัวเหนี่ยวนำในอุดมคติจะไม่มีความต้านทานหรือพลังงานที่สูญเสีย อย่างไรก็ตาม ตัวเหนี่ยวนำที่แท้จริงมีความต้านทานจากลวดโลหะที่พันขึ้นเป็นคอยล์ เนื่องจากความต้านทานขดลวดจะปรากฏเป็นความต้านทานที่อนุกรมกับตัวเหนี่ยวนำ มันมักจะถูกเรียกว่าความต้านทานอนุกรม ความต้านทานอนุกรมของตัวเหนี่ยวนำจะแปลงกระแสไฟฟ้าผ่านคอยล์ให้เป็นความร้อน ซึ่งก่อให้เกิดการสูญเสียคุณภาพของการเหนี่ยวนำ ปัจจัยคุณภาพ (หรือ Q factor) ของตัวเหนี่ยวนำเป็นอัตราส่วนของ reactance ในการเหนี่ยวนำกับความต้านทานที่ความถี่ที่กำหนด และเป็นตัวชี้วัดประสิทธิภาพของมัน Q factor ยิ่งสูง ตัวเหนี่ยวนำยิ่งเข้าใกล้พฤฒิกรรมที่เป็นอุดมคติปราศจากการสูญเสียของตัวเหนี่ยวนำ ต้วเหนี่ยวนำที่มี Q สูงจะถูกนำมาใช้กับตัวเก็บประจุเพื่อทำเป็นวงจรเรโซแนนท์ในเครื่องส่งสัญญาณและเครื่องรับวิทยุ ค่า Q ยิ่งสูง แบนด์วิดธ์ของวงจรเรโซแนนท์ยิ่งแคบ(สร้างความถี่ได้ชัดเจนมากขึ้น)

Q factor ของตัวเหนี่ยวนำสามารถพบได้จากสูตรต่อไปนี้ โดยที่ L คือการเหนี่ยวนำ, R คือ ความต้านทานอนุกรมที่เกิดขึ้นของตัวเหนี่ยวนำ, ω คือความถี่ในการทำงานแบบเรเดียน และผลคูณ ωL เป็น reactance การเหนี่ยวนำ:

Q={\frac {\omega L}{R}}

ขอให้สังเกตว่า Q จะเพิ่มเป็นเส้นตรงกับความถี่ถ้า L และ R เป็นค่าคงที่ แม้ว่าพวกมันจะ คงที่ที่ความถี่ต่ำ พารามิเตอร์ต่างๆก็แปรตามความถี่ด้วย ตัวอย่างเช่น skin effect, proximity effect และ core loss จะเพิ่มค่า R ตามความถี่; ค่าการเก็บประจุของขดลวดและการเปลี่ยนแปลงของค่าการซึมผ่านที่แปรตามความถี่ก็มีผลต่อค่า L

สำหรับค่าเชิงคุณภาพที่ความถี่ต่ำและภายในข้อจำกัด, การเพิ่มจำนวนรอบ N จะช่วยปรับปรุงค่า Q เพราะ L แปรเปลี่ยนตาม N² ในขณะที่ R แปรเป็นเส้นตรงกับ N ในทำนองเดียวกัน การเพิ่มของรัศมี r ของตัวเหนี่ยวนำไปเพิ่ม Q เพราะ L แปรตาม r² ขณะที่ R แปรเป็นเส้นตรงกับ r ดังนั้น ตัวเหนี่ยวนำแกนอากาศที่มี Q สูงมักจะมีเส้นผ่าศูนย์กลางขนาดใหญ่และมีจำนวนรอบมาก ทั้งสองตัวอย่างที่กล่าวมานั้นให้ถือว่าขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของลวดยังคงมีค่าเท่ากัน ดังนั้นทั้งสองตัวอย่างได้ใช้ลวด(ทองแดง)มากขึ้นเป็นสัดส่วนกัน ถ้ามวลรวมของลวดถูกทำให้คงที่ ดังนั้นแล้วจะไม่มีข้อได้เปรียบในการเพิ่มจำนวนรอบหรือรัศมีของรอบเพราะลวดจะต้องมีเส้นผ่าศูนย์กลางเล็กลงเป็นสัดส่วนกัน

โดยการใช้แกน ferromagneticที่มีการซึมผ่านที่สูงสามารถเพิ่มการเหนี่ยวนำเป็นอย่างมากสำหรับทองแดงจำนวนเดียวกัน ดังนั้นแกนยังสามารถเพิ่มค่า Q ได้ อย่างไรก็ตาม แกนยังสร้างการสูญเสียที่เพิ่มขึ้นตามความถี่ วัสดุแกนถูกเลือกเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดสำหรับแถบคลื่นความถี่หนึ่งๆ ที่ความถี่ VHF หรือสูงกว่า แกนอากาศมีแนวโน้มที่มักจะถูกนำมาใช้

ตัวเหนี่ยวนำที่พันรอบแกน ferromagnetic อาจอิ่มตัวที่กระแสสูง ก่อให้เกิดการลดลงอย่างมากของค่าการเหนี่ยวนำ (และค่า Q) ปรากฏการณ์นี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการใช้ตัวเหนี่ยวนำแกนอากาศ(ขนาดใหญ่ทางกายภาพ) ตัวเหนี่ยวนำแกนอากาศที่ถูกออกแบบมาอย่างดีอาจจะมีค่า Q หลายร้อย

สูตรการเหนี่ยวนำ

ตารางด้านล่างแสดงรายการของสูตรธรรมดาที่ถูกทำให้ง่ายบางสูตรสำหรับการคำนวณค่าการเหนี่ยวนำโดยประมาณของตัวเหนี่ยวนำหลายประเภท

ประเภท	สูตร	หมายเหตุ
คอยล์แบบแนอากาศทรงกระบอก	$L={\frac {1}{l}}\mu _{0}KN^{2}A$ L = ค่าการเหนี่ยวนำหน่วยเป็น henry (H) μ₀ = ค่าการซึมผ่านของอากาศ = 4 $\pi$ × 10⁻⁷ H/m K = ค่าสัมประสิทธิ์ของ Nagaoka N = จำนวนรอบ A = พื้นที่หน้าตัดของคอยล์เป็นตารางเมตร (m²) l = ความยาวของคอยล์เป็นเมตร (m)	การคำนวณที่ชัดเจนของค่า K จะซับซ้อน ค่า K ประมาณว่าเป็นหนึ่งเดียวสำหรับคอยล์ตัวหนึ่งซึ่งใหญ่กว่าเส้นผ่าศูนย์กลางของมันอย่างมากและถูกพันด้วยลวดขนาดเล็กมากๆ(เพื่อที่ว่ามันประมาณว่าเป็นหนึ่งแผ่นกระแส)
ตัวเหนี่ยวนำเส้นลวดตรง	$L={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\left(l\ln \left[{\frac {1}{c}}\left(l+{\sqrt {l^{2}+c^{2}}}\right)\right]-{\sqrt {l^{2}+c^{2}}}+c+{\frac {l}{4+c{\sqrt {{\frac {2}{\rho }}\omega \mu }}}}\right)$ L = ค่าการเหนี่ยวนำ l = ความยาวกระบอก c = รัศมีกระบอก μ₀ = ค่าการซึมผ่านของอากาศ = 4 $\pi$ × 10⁻⁷ H/m μ = ค่าการซึมผ่านของตัวนำ p = ค่าความต้านทาน ω = อัตราของเฟส	ชัดเจนถ้า ω = 0 หรือ ω = ∞
	$L={\frac {1}{5}}l\left[\ln \left({\frac {4l}{d}}\right)-1\right]$ L = inductance (nH) l = ความยาวของตัวนำ (mm) d = เส้นผ่าศูนย์กลางของตัวนำ (mm) f = ความถี่	ทองแดงหรืออะลูมิเนียม (ตัวอย่าง, ค่าการซึมผ่านสัมพันธ์เป็น 1) l > 100 d d²f > 1 mm² MHz
	$L={\frac {1}{5}}l\left[\ln \left({\frac {4l}{d}}\right)-{\frac {3}{4}}\right]$ L = ค่าการเหนี่ยวนำ (nH) l = ความยาวของตัวนำ (mm) d = เส้นผ่าศูนย์กลางของตัวนำ (mm) f = ความถี่	ทองแดงหรืออะลูมิเนียม (ตัวอย่าง, ค่าการซึมผ่านสัมพันธ์เป็น 1) l > 100 d d²f < 1 mm² MHz
คอยล์แกนอากาศทรงกระบอกสั้น	$L={\frac {r^{2}N^{2}}{9r+10l}}$ L = ค่าการเหนี่ยวนำ (µH) r = รัศมีด้านนอกของคอยล์ (นิ้ว) l = ความยาวของคอย์ (นิ้ว) N = จำนวนรอบ
คอยล์แกนอากาศหลายชั้น^[]	$L={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {r^{2}N^{2}}{6r+9l+10d}}$ L = ค่าการเหนี่ยวนำ (µH) r = รัศมีเฉลี่ยของคอยล์ (นิ้ว) l = ความยาวจริงของขดลวดของคอยล์ (นิ้ว) N = จำนวนรอบ d = ความลึกของคอยล์ (รัศมีนอกลบด้วยร้ศมีใน) (นิ้ว)
คอยล์แกนอากาศเกลียวแบน^[]	$L={\frac {r^{2}N^{2}}{20r+28d}}$ L = ค่าการเหนี่ยวนำ (µH) r = รัศมีเฉลี่ยของคอยล์ (cm) N = จำนวนรอบ d = ความลึกของคอยล์ (รัศมีนอกลบด้วยร้ศมีใน) (cm)
คอยล์แกนอากาศเกลียวแบน^[]	$L={\frac {r^{2}N^{2}}{8r+11d}}$ L = ค่าการเหนี่ยวนำ (µH) r = รัศมีเฉลี่ยของคอยล์ (in) N = จำนวนรอบ d = ความลึกของคอยล์ (รัศมีนอกลบด้วยร้ศมีใน) (in)	แม่นยำถึงภายใน 5 เปอร์เซนต์สำหรับ d > 0.2 r.
แกน Toroid (หน้าตัดเป็นวงกลม)	$L=0.01595N^{2}\left(D-{\sqrt {D^{2}-d^{2}}}\right)$ L = ค่าการเหนี่ยวนำ (µH) d = เส้นผ่าศูนย์กลางของขดลวดของคอยล์ (นิ้ว) N = จำนวนรอบ D = 2 * รัศมีของการหมุน (นิ้ว)
แกน Toroid (หน้าตัดเป็นวงกลม)	$L\approx 0.007975{d^{2}N^{2} \over D}$ L = ค่าการเหนี่ยวนำ (µH) d = เส้นผ่าศูนย์กลางของขดลวดของคอยล์ (นิ้ว) N = จำนวนรอบ D = 2 * รัศมีของการหมุน (นิ้ว)	โดยประมาณเมื่อ d < 0.1 D
แกน Toroid (หน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยม)	$L=0.00508N^{2}h\ln \left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)$ L = ค่าการเหนี่ยวนำ (µH) d₁ = เส้นผ่าศูนย์กลางด้านในของ toroid (นิ้ว) d₂ = เส้นผ่าศูนย์กลางด้านนอกของ toroid (นิ้ว) N = จำนวนรอบ h = ความสูงของ toroid (นิ้ว)

ดูเพิ่ม

Gyrator – เครือข่ายของชิ้นส่วนที่จำลองตัวเหนี่ยวนำ
Induction coil
Induction cooking
Induction loop
RL circuit
RLC circuit
Magnetomotive force
Reactance (electronics) – ต้านการเปลี่ยนแปลงของกระแสหรือแรงดันไฟฟ้า
Saturable reactor – ชนิดของตัวเหนี่ยวนำที่สามารถปรับค่าได้
Solenoid
ขดลวดแม่เหล็กไฟฟ้า

อ้างอิง

Singh, Yaduvir (2011). Electro Magnetic Field Theory. Pearson Education India. p. 65. .
Wadhwa, C. L. (2005). Electrical Power Systems. New Age International. p. 18. .
Pelcovits, Robert A.; Josh Farkas (2007). Barron's AP Physics C. Barron's Educatonal Series. p. 646. .
Purcell, Edward M.; David J. Morin (2013). Electricity and Magnetism. Cambridge Univ. Press. p. 364. .
Purcell, Edward M.; David J. Morin (2013). Electricity and Magnetism. Cambridge Univ. Press. p. 364. .
Purcell, Edward M.; David J. Morin (2013). Electricity and Magnetism. Cambridge Univ. Press. p. 364. .
"Aircraft electrical systems". Wonderquest.com. Retrieved 2010-09-24.
"An Unassuming Antenna - The Ferrite Loopstick". Radio Time Traveller. January 23, 2011. Retrieved March 5, 2014.
Frost, Phil (December 23, 2013). "What's an appropriate core material for a loopstick antenna?". Amateur Radio beta. Stack Exchange, Inc. Retrieved March 5, 2014.
Poisel, Richard (2011). Antenna Systems and Electronic Warfare Applications. Artech House. p. 280. .
Yadava, R. L. (2011). Antenna and Wave Propagation. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 261. .
สำหรับวัสดุ ferromagnetic, coercivity เป็นความเข้มข้นของสนามแม่เหล็กที่ใช้สำหรับลดความเป็นแม่เหล็กของวัสดุนั้นให้เหลือศูนย์หลังจากอำนาจแม่เหล็กของวัสดุนั้นถูกขับให้อิ่มตัว
Vishay. "Products - Inductors - IHLP inductor loss calculator tool landing page". Vishay. Retrieved 2010-09-24.
View: Everyone Only Notes. "IHLP inductor loss calculator tool". element14. Retrieved 2010-09-24.
"Inductors 101". vishay. Retrieved 2010-09-24.
"Inductor and Magnetic Product Terminology". Vishay Dale. Retrieved 2012-09-24.
(1909-05-06). "The Inductance Coefficients of Solenoids" (PDF). 27. Journal of the College of Science, Imperial University, Tokyo, Japan: 18. สืบค้นเมื่อ 2011-11-10. {{}}: Cite journal ต้องการ |journal= ((help))
Kenneth L. Kaiser, Electromagnetic Compatibility Handbook, p. 30.64, CRC Press, 2004 .
Rosa, Edward B. (1908). "The Self and Mutual Inductances of Linear Conductors" (PDF). Bulletin of the Bureau of Standards. 4 (2): 301–344. doi:10.6028/bulletin.088{{}}: CS1 maint: postscript ()
Rosa 1908, equation (11a), subst. radius ρ = d/2 and cgs units
Terman 1943, pp. 48–49, convert to natural logarithms and inches to mm.
Terman (1943, p. 48) states for l < 100 d, include d/2l within the parentheses.
Rosa 1908, equation (10), subst. radius ρ = d/2 and cgs units
ARRL Handbook, 66th Ed. American Radio Relay League (1989).
For the second formula, Terman 1943, p. 58 which cites to Wheeler 1938.
Terman 1943, p. 58
Terman 1943, p. 57

แหล่งข้อมูลอื่น

เนื้อหาและรายละเอียดตัวเหนี่ยวนำไฟฟ้า 2009-06-20 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน

[1] Singh, Yaduvir (2011). Electro Magnetic Field Theory. Pearson Education India. p. 65. .

[2] Wadhwa, C. L. (2005). Electrical Power Systems. New Age International. p. 18. .

[3] Pelcovits, Robert A.; Josh Farkas (2007). Barron's AP Physics C. Barron's Educatonal Series. p. 646. .

[4] Purcell, Edward M.; David J. Morin (2013). Electricity and Magnetism. Cambridge Univ. Press. p. 364. .

[5] Purcell, Edward M.; David J. Morin (2013). Electricity and Magnetism. Cambridge Univ. Press. p. 364. .

[6] Purcell, Edward M.; David J. Morin (2013). Electricity and Magnetism. Cambridge Univ. Press. p. 364. .

[7] "Aircraft electrical systems". Wonderquest.com. Retrieved 2010-09-24.

[8] "An Unassuming Antenna - The Ferrite Loopstick". Radio Time Traveller. January 23, 2011. Retrieved March 5, 2014.

[9] Frost, Phil (December 23, 2013). "What's an appropriate core material for a loopstick antenna?". Amateur Radio beta. Stack Exchange, Inc. Retrieved March 5, 2014.

[10] Poisel, Richard (2011). Antenna Systems and Electronic Warfare Applications. Artech House. p. 280. .

[11] Yadava, R. L. (2011). Antenna and Wave Propagation. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 261. .

[12] สำหรับวัสดุ ferromagnetic, coercivity เป็นความเข้มข้นของสนามแม่เหล็กที่ใช้สำหรับลดความเป็นแม่เหล็กของวัสดุนั้นให้เหลือศูนย์หลังจากอำนาจแม่เหล็กของวัสดุนั้นถูกขับให้อิ่มตัว

[13] Vishay. "Products - Inductors - IHLP inductor loss calculator tool landing page". Vishay. Retrieved 2010-09-24.

[14] View: Everyone Only Notes. "IHLP inductor loss calculator tool". element14. Retrieved 2010-09-24.

[15] "Inductors 101". vishay. Retrieved 2010-09-24.

[16] "Inductor and Magnetic Product Terminology". Vishay Dale. Retrieved 2012-09-24.

[Nagaoka-17] (1909-05-06). "The Inductance Coefficients of Solenoids" (PDF). 27. Journal of the College of Science, Imperial University, Tokyo, Japan: 18. สืบค้นเมื่อ 2011-11-10. {{}}: Cite journal ต้องการ |journal= ((help))

[18] Kenneth L. Kaiser, Electromagnetic Compatibility Handbook, p. 30.64, CRC Press, 2004 .

[19] Rosa, Edward B. (1908). "The Self and Mutual Inductances of Linear Conductors" (PDF). Bulletin of the Bureau of Standards. 4 (2): 301–344. doi:10.6028/bulletin.088{{}}: CS1 maint: postscript ()

[20] Rosa 1908, equation (11a), subst. radius ρ = d/2 and cgs units

[Terman_straight-21] Terman 1943, pp. 48–49, convert to natural logarithms and inches to mm.

[Terman_adjust-22] Terman (1943, p. 48) states for l < 100 d, include d/2l within the parentheses.

[23] Rosa 1908, equation (10), subst. radius ρ = d/2 and cgs units

[24] ARRL Handbook, 66th Ed. American Radio Relay League (1989).

[25] For the second formula, Terman 1943, p. 58 which cites to Wheeler 1938.

[Terman1943-26] Terman 1943, p. 58

[27] Terman 1943, p. 57