ภาวะคู่กันปวงกาเร

ในคณิตศาสตร์ ภาวะคู่กันปวงกาเร (อังกฤษ: Poincaré duality) เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างของและของแมนิโฟลด์ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าถ้า ${\displaystyle M}$ เป็นแมนิโฟลด์มิติ ${\displaystyle n}$ ที่เป็น (เป็นและไม่มีขอบ) และ แล้วกรุปคอฮอมอโลยีตัวที่ ${\displaystyle k}$ ของ ${\displaystyle M}$ จะกับกรุปฮอมอโลยีตัวที่ ${\displaystyle n-k}$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม ${\displaystyle k}$ หรือเขียนได้ว่า

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M)}$

ภาวะคู่กันปวงกาเรเป็นจริงสำหรับทุกริงสัมประสิทธิ์ ตราบเท่าที่เลือกใช้การกำหนดทิศทางบนแมนิโฟลด์ที่สอดคล้องกับริงนั้น และเนื่องจากทุกแมนิโฟลด์มีการกำหนดทิศทางเพียงหนึ่งเดียวมอดุโล 2 แล้วจะได้ว่าภาวะคู่กันปวงการเรเป็นจริงมอดุโลสองโดยไม่ต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม

ประวัติ

รูปแบบหนึ่งของภาวะคู่กันปวงกาเรถูกกล่าวขึ้นเป็นครั้งแรกโดย อ็องรี ปวงกาเร ในปีค.ศ. 1893 โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ ปวงกาเรตั้งทฤษฎีบทนี้ในเทอมของว่าจำนวนเบ็ตตีตัวที่ ${\displaystyle k}$ และ ${\displaystyle n-k}$ ของแมนิโฟลด์ปิด (และไม่มีขอบ) และมิติ ${\displaystyle n}$ จะเท่ากันเสมอ แนวคิดเรื่องคอฮอมอโลยีต้องรอไปอีก 40 ปีจากขณะนั้นถึงจะชัดเจนสมบูรณ์ ในปีค.ศ. 1895 ในรายงานวิจัย ปวงกาเรได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ผ่านเชิงทอพอโลยี (topological intersection theory) ซึ่งปวงกาเรเป็นผู้ประดิษฐ์ขึ้นมา แต่คำวิจารณ์จาก ชี้ให้ปวงกาเรเห็นว่าบทพิสูจน์ของเขาผิดพลาด ในส่วนเพิ่มเติมของรายงาน ที่ตีพิมพ์ภายหลัง ปวงกาเรให้บทพิสูจน์ใหม่ผ่าน dual triangulations

ภาวะคู่กันปวงกาเรปรากฎในรูปแบบปัจจุบันภายหลังแนวคิดเรื่องคอฮอมอโลยีปรากฎขึ้นในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 1930 เมื่อ และ นิยาม (cup product) และ (cap product) จากนั้นใช้แนวคิดทั้งสองเพื่อเขียนภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบใหม่

ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบัน

ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบันนิยมกล่าวผ่านฮอมอโลยีและคอฮอมอโลยี

ภาวะคู่กันปวงกาเร — ให้ ${\displaystyle M}$ เป็นแมนิโฟลด์มิติ ${\displaystyle n}$ ที่เป็นและ แล้วจะมีฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุป ${\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )}$ ในรูปแบบบัญญัติสำหรับทุกจำนวนเต็ม ${\displaystyle k}$

เพื่อนิยามฟังก์ชันสมสัณฐานดังกล่าว เราเลือก (fundamental class) ${\displaystyle [M]}$ ของ ${\displaystyle M}$ ซึ่งนิยามถ้า ${\displaystyle M}$ กำหนดทิศทางได้ จะได้ว่าฟังก์ชันสมสัณฐานเป็นการส่งสมาชิก ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$ ไปยัง ${\displaystyle [M]\frown \alpha }$

และนิยามให้เป็นศูนย์สำหรับดีกรีเป็นจำนวนเต็มลบ ดังนั้นภาวะคู่กันของปวงกาเรจึงบ่งว่ากรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีของแมนิโฟลด์มิติ ${\displaystyle n}$ ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้จะเป็นศูนย์สำหรับทุกดีกรีที่สูงกว่า ${\displaystyle n}$

ในรูปแบบข้างต้นกรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีมีค่าเป็นจำนวนเต็ม แต่ภาวะสมสัณฐาณนี้เป็นจริงไม่ว่าใช้ริงสัมประสิทธิ์ใด ๆ ในกรณีที่แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางได้ไม่กระชับ จะต้องเปลี่ยนฮอมอโลยีเป็น

${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X)}$

หรือเปลี่ยนคอฮอมอโลยีเป็น (cohomology with compact support)

${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X)}$

บทประยุกต์กับแคแรกเทอริสติกออยเลอร์

ผลที่ตามมาโดยทันทีจากภาวะคู่กันปวงกาเรคือทุกแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้ ${\displaystyle M}$ ที่มีมิติเป็นจำนวนเต็มคี่ จะมีเท่ากับศูนย์ และจะได้ตามมาว่าทุกแมนิโฟลด์มีขอบเขตจะมีแคแรกเทอริสติกออยเลอร์เป็นเลขคู่

การวางนัยทั่วไป

(Poincaré–Lefschetz duality theorem) เป็นการวางนัยทั่วไปของภาวะคู่กันปวงกาเรสำหรับแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต ในกรณีที่แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางไม่ได้ เราสามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับภาวะคู่กันได้โดยพิจารณาชีพของการกำหนดทิศทางเฉพาะที่ เรียกว่า (twist Poincare duality)

รายการอ้างอิง

1. (2002). Algebraic Topology (ภาษาอังกฤษ) (1st ed.). Cambridge: . ISBN .  1867354.

อ่านเพิ่ม

• Blanchfield, Richard C. (1957), "Intersection theory of manifolds with operators with applications to knot theory", , 65 (2): 340–356, doi:10.2307/1969966, JSTOR 1969966,  0085512
• ; (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: Wiley, ISBN ,  1288523