ทรงรี

ทรงรี คือผิวกำลังสองชนิดหนึ่ง ในสามมิติ เทียบได้กับวงรีในสองมิติ รูปสมการมาตรฐานของทรงรี บนแกน x-y-z ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน คือ

ทรงรี วาดในซอฟต์แวร์นิวพลอต

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$

โดย a, b และ c เป็นค่าคงที่ จำนวนจริงบวก เป็นค่าที่กำหนดรูปร่างของทรงรี ในกรณีที่ค่าคงที่ 2 ตัวมีค่าเท่ากัน จะได้กรณีพิเศษคือ ทรงคล้ายทรงกลม กรณีที่ค่าทั้ง 3 ค่ามีค่เท่ากันจะได้เป็น ทรงกลม

ถ้าสมมุติให้ a ≥ b ≥ c แล้ว

• a ≠ b ≠ c จะได้เป็น ทรงรีแกนไม่เท่า (scalene ellipsoid)
• c = 0 ได้เป็น วงรี
• c > a = b ได้รูป ทรงคล้ายทรงกลมแบนข้าง (prolate spheroid) รูปคล้ายลูกรักบี้
• c < a = b ได้รูป ทรงคล้ายทรงกลมแบนขั้ว (oblate spheroid)
• b = a = c ได้ ทรงกลม

ปริมาตร

หีบปริมาตรของทรงรี มีค่าเท่ากับ ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}$

พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของทรงรี มีค่าเท่ากับ

${\displaystyle 2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)}$

โดยที่

${\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}\qquad \theta =\arcsin {\left(e\right)}\qquad e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

และ ${\displaystyle \,F(\theta ,m)\,}$ และ ${\displaystyle \,E(\theta ,m)\,}$ คือ ไม่สมบูรณ์ชนิดที่หนึ่ง และ ชนิดที่สอง

สูตรหาพื้นที่:

• กรณีรูปแบน: ${\displaystyle =2\pi \left(ab\right)}$
• กรณีรูปแบนข้าง: ${\displaystyle =2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)}$
• กรณีรูปแบนขั้ว: ${\displaystyle =2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)}$

สูตรหาพื้นที่โดยประมาณ:

• กรณีแกนไม่เท่า: ${\displaystyle \approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}}$

โดยที่ p ≈ 1.6075 ให้ค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์ ไม่เกิน 1.061% (สูตรของ ) ; ค่า p = 8/5 = 1.6 เป็นค่าที่ดีที่สุดสำหรับทรงรี ที่คล้ายทรงกลม โดยมีค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกิน 1.178% (สูตรของ )