อสมการของเชบิเชฟ

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของเชบิเชฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ของความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งจะเบี่ยงเบนไปจากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มนั้น อสมการของเชบิเชฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นนี้กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนั้น โดยมีใจความดังนี้

ให้ ${\displaystyle X\,}$ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าคาดหมาย ${\displaystyle \mu _{X}\,}$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ${\displaystyle \sigma _{X}\,}$ แล้ว สำหรับจำนวนจริง ${\displaystyle t\,}$ ใด ๆ เราได้ว่า ${\displaystyle \Pr[|X-\mu _{X}|\geq t\sigma _{X}]\leq {\frac {1}{t^{2}}}}$

โดยทั่วไปแล้วอสมการของเชบิเชฟจะให้ขอบเขตบนที่แน่นกว่าอสมการของมาร์คอฟ เนื่องจากอสมการของเชบิเชฟใช้ความรู้เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม อสมการของเชบิเชฟถูกใช้ในการวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มหลาย ๆ ขั้นตอนวิธี เนื่องจากตัวแปรสุ่มในขั้นตอนวิธีนั้นมักเป็นตัวแปรสุ่มที่พบได้บ่อยและสามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ไม่ยาก

การพิสูจน์

เนื่องจาก ${\displaystyle |X-\mu _{X}|\geq t\sigma _{X}}$ ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle (X-\mu _{X})^{2}\geq t^{2}\sigma _{X}^{2}}$ เมื่อมอง ${\displaystyle (X-\mu _{X})^{2}\,}$ เป็นตัวแปรสุ่มและใช้อสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า

${\displaystyle \Pr[(X-\mu _{X})^{2}\geq t^{2}\sigma _{X}^{2}]\leq {\frac {\mathrm {E} [(X-\mu _{X})^{2}]}{t^{2}\sigma _{X}^{2}}}}$

ค่า ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ คือของตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle X\,}$ ซึ่งโดยนิยามแล้วมีค่าเท่ากับค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle (X-\mu _{X})^{2}\,}$ ด้วยเหตุนี้

${\displaystyle \Pr[|X-\mu _{X}|\geq t\sigma _{X}]=\Pr[(X-\mu _{X})^{2}\geq t^{2}\sigma _{X}^{2}]\leq {\frac {\mathrm {E} [(X-\mu _{X})^{2}]}{t^{2}\mathrm {E} [(X-\mu _{X})^{2}]}}={\frac {1}{t^{2}}}}$

ตามต้องการ