สมการซิลเวสเตอร์

สมการซิลเวสเตอร์ (อังกฤษ: Sylvester equation) มักพบในทฤษฎีระบบควบคุม คือสมการเมทริกซ์ ในรูปแบบ

${\displaystyle AX+XB=C,}$

โดยที่ ${\displaystyle A,B,X,C}$ คือ ${\displaystyle n\times n}$ เมทริกซ์ ${\displaystyle A,B,C}$ เป็นเมทริกซ์ทราบค่า และ ${\displaystyle X}$ คือเมทริกซ์ตัวแปรที่เราต้องการหาค่า

เงื่อนไขการมีอยู่และความเป็นได้อย่างเดียวของผลตอบ

โดยใช้ (Kronecker product) และตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ vectorization operator (${\displaystyle \operatorname {vec} }$) เราสามารถเขียนสมการในรูปแบบใหม่ได้เป็น

${\displaystyle (I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}$

โดยที่ ${\displaystyle I_{n}}$ คือ ${\displaystyle n\times n}$ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ในรูปแบบนี้เราจะเห็นได้ว่า สมการซิลเวสเตอร์ สามารถเขียนได้อยู่ในรูป ที่มีมิติขนาด ${\displaystyle n^{2}\times n^{2}}$
หมายเหตุ: อย่างไรก็ดีการเขียนสมการซิลเวสเตอร์ ในรูปแบบนี้ไม่เป็นที่แนะนำกับการใช้ในการหาผลตอบเชิงเลข (numerical solution) เพราะเป็นการใช้ขั้นตอนการคำนวณที่มากเกินไปและจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้

ถ้า ${\displaystyle A=ULU^{-1}}$ และ ${\displaystyle B^{T}=VMV^{-1}}$ อยู่ใน (Jordan canonical form) ของ ${\displaystyle A}$ และ ${\displaystyle B^{T}}$ แล้ว และ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ และ ${\displaystyle \mu _{j}}$ คือค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของ ${\displaystyle A}$ และ ${\displaystyle B^{T}}$ ตามลำดับ แล้ว เราสามารถเขียนสมการในรูป

${\displaystyle I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n}=(V\otimes U)(I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})(V\otimes U)^{-1}.}$

เนื่องจาก ${\displaystyle (I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})}$ คือ (upper triangular) ที่มีสมาชิกตามแนวทแยงเป็น ${\displaystyle \lambda _{i}+\mu _{j}}$ เมทริกซ์ด้านซ้ายมือจะเป็น (singular) ก็ต่อเมื่อ มี ${\displaystyle i}$ และ ${\displaystyle j}$ ที่ทำให้ ${\displaystyle \lambda _{i}=-\mu _{j}}$.

ดังนั้น เราสามารถพิสูจน์ว่าสมการซิลเวสเตอร์มีคำตอบที่ไม่ซ้ำ (unique solution) ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle A}$และ ${\displaystyle -B}$ ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่ร่วมกัน

คำตอบเชิงเลข

ขั้นตอนวิธีของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ (Bartels–Stewart algorithm) สามารถหาคำตอบของสมการซิลเวสเตอร์ โดยการเปลี่ยน ${\displaystyle A}$ และ ${\displaystyle B}$ ให้อยู่ในรูปของแบบของชูร์ (Schur form) โดยใช้ ขั้นตอนวิธีคิวอาร์ (QR algorithm) และต่อมาแก้สมการที่ติดในรูปเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนด้วย back-substitution ขั้นตอนวิธีดั้งกล่าวมีค่า O ${\displaystyle (n^{3})}$

ดูเพิ่ม

• สมการเลียปูนอฟ
• (Algebraic Riccati equation)

อ้างอิง

• J. Sylvester, Sur l’equations en matrices ${\displaystyle px=xq}$, C.R. Acad. Sci. Paris, 99 (1884), pp. 67 – 71, pp. 115 – 116.

• R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation ${\displaystyle AX+XB=C}$, Comm. ACM, 15 (1972), pp. 820 – 826.

• R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation ${\displaystyle AX-XB=Y}$ ?, Bull. London Math. Soc., 29 (1997), pp. 1 – 21.

• S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, Linear Algebra and its Applications, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Online solver for arbitrary sized matrices.^[]