การหาค่าเหมาะที่สุด

ในทางคณิตศาสตร์ การหาค่าเหมาะที่สุดหมายถึงการหาตัวเลือกที่ดีที่สุดตามเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ที่กำหนด โดยเลือกตัวแปรจากเซตที่กำหนดให้ฟังก์ชันที่เป็นวัตถุประสงค์มีค่าเหมาะที่สุด เช่น ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด วิธีการหาค่าเหมาะที่สุดได้รับการประยุกต์ใช้ในสาขาต่าง ๆ เช่น ฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ เป็นต้น

นิยามปัญหา

ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดในบริบทของจำนวนจริง หมายถึงการเลือกตัวแปร ${\displaystyle x}$ จากเซตตัวเลือกที่เป็นไปได้ เพื่อให้ได้ค่าของฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)}$ เป็นค่าสูงที่สุดหรือค่าต่ำที่สุด

ให้ ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ เป็นเวกเตอร์จำนวนจริงในปริภูมิจำนวนจริง n มิติ (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) และให้ฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{m}}$ เป็นฟังก์ชันจาก ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ไปยังจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด (ในบริบทของฟังก์ชันจำนวนจริง) สามารถเขียนออกมาในรูปแบบทั่วไปได้ว่า เลือกเวกเตอร์ ${\displaystyle x}$ ที่ทำให้ ${\displaystyle f(x)}$ มีค่าน้อยที่สุด

$${\displaystyle \min _{x}f(x)}$$

ภายใต้เงื่อนไขว่า สำหรับ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,m}$:

$${\displaystyle g_{i}(x)\leq 0}$$

ฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$ เรียกว่าเป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ในขณะที่ฟังก์ชัน ${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{m}}$ เรียกว่าฟังก์ชันเงื่อนไขบังคับ ค่า ${\displaystyle f(x^{*})}$ เป็นค่าเหมาะที่สุด (หรือค่าต่ำสุด) ถ้า ${\displaystyle x^{*}}$ เป็นไปตามเงื่อนไขบังคับทุกข้อ และ ${\displaystyle f(x^{*})}$ มีค่าน้อยที่สุดในบรรดาเวกเตอร์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขบังคับ กล่าวคือ

$${\displaystyle f(x^{*})\leq f(z)}$$

สำหรับเวกเตอร์ ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$ ใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขบังคับ ${\displaystyle g_{1}(z)\leq 0,g_{2}(z)\leq 0,\dots ,g_{m}(z)\leq 0}$ เวกเตอร์ ${\displaystyle x^{*}}$ เรียกว่าคำตอบหรืออาร์กิวเมนต์ของค่าเหมาะที่สุด

ดูเพิ่ม

• กำหนดการเชิงเส้น
• กำหนดการพลวัต
• การหาค่าเหมาะที่สุดแบบเฟ้นสุ่ม

อ้างอิง

1. Snyman, Jan A. (2005). Practical mathematical optimization: An introduction to basic optimization theory and classical and new gradient-based algorithms. New York: Springer. p. 2. ISBN .
2. Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex optimization. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 1. ISBN .